[論文レビュー] Subvarieties of quotients of bounded symmetric domains

Benoît Cadorel|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界対称領域の商における部分多様体の複素双曲的性および一般型性に関する、新しいメトリックに基づく基準を確立する。特に、球面商およびシーゲルモジュライ空間に応用する。部分多様体の正則バンドルに正の曲率を持つ計量を構成することで、線分束 $ L_0 $ に特定の正性条件が満たされれば、次元が $ p $ 以上の部分多様体が一般型であることを証明し、曲線のモジュライ空間が一般型であるためのレベル構造に対する有効な境界を導く。

ABSTRACT

We present a new criterion for the complex hyperbolicity of a non-compact quotient X of a bounded symmetric domain. For each p $\\ge$ 1, this criterion gives a precise condition under which the subvarieties V $\\subset$ X with dim V $\\ge$ p are of general type, and X is p-measure hyperbolic. Then, we give several applications related to ball quotients, or to the Siegel moduli space of principally polarized abelian varieties. For example, we determine effective levels l for which the moduli spaces of genus g curves with l-level structures are of general type.

研究の動機と目的

• 有界対称領域の非コンパクト商における $ p $-測度双曲的性および一般型性に関する、統一的でメトリック論的な基準の開発。
• ホッジ構造の変動に依存せずに、算術的商における小林双曲的性および代数的双曲的性に関する先行結果の一般化。
• genus $ g $ の曲線のモジュライ空間が一般型であるためのレベル構造に対する有効な境界の特定。
• 変動ホッジ構造理論を用いずに、このような商における部分多様体が一般型であるかどうかを決定するための構成的手段の確立、正則バンドルの正性に基づくもの。

提案手法

• ベルグマン計量のねじれを用いて、部分多様体 $ V \subset \overline{X} $ の正則バンドル $ K_V $ に正の曲率を持つ計量を構成する。
• ブックソムの定理を適用して $ K_V $ の大きさを示し、これにより $ V $ が一般型であることを導く。
• 双曲的性および一般型性の条件を決定する線分束 $ L_0 $ を定義する。
• 線形計画法的手法を用いて、$ L_0 $ の正性の閾値を制御する臨界定数 $ C_p $ を計算する。
• 格子配置と重み分布に基づき、ヘルミート対称領域 $ \mathbb{H}_g $ に対して再帰的アルゴリズムをPythonで実装し、$ C_p $ を計算する。
• 線分束 $ L_0 $ の正性が、基底付属集合が境界除法 $ D $ に含まれることと関連しており、$ D $ に含まれない部分多様体は一般型であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線分束 $ L_0 $ の正性にどのような条件が課されると、次元が $ p $ 以上の部分多様体 $ V \subset X $ が一般型であることが保証されるか？
• RQ2 有界対称領域の商において、小林双曲的性および $ p $-測度双曲的性を、メトリック的手法によって一様に取り扱うことは可能か？
• RQ3 どの有効なレベル $ l $ に対して、genus $ g $ の曲線のモジュライ空間に $ l $-レベル構造を施したものが一般型であるか？
• RQ4 変動ホッジ構造理論を用いずに、部分多様体の正則バンドルの大きさをどのように確立できるか？
• RQ5 シーゲルモジュライ空間 $ A_g $ における一般型挙動の閾値を決定する定数 $ C_p $ の正確な値は何か？

主な発見

• $ g \geq 12 $ のとき、$ l \geq 2g+1 $ であれば、$ l $-レベル構造を施した genus $ g $ の曲線のモジュライ空間は一般型である。これは以前の結果を改善する。
• モジュライ空間 $ \overline{A_g}^{BB} $ は解体 $ \widetilde{A_g} $ を持つが、任意の部分多様体 $ V $ で $ \mathrm{codim} V \leq g-12 $ かつ境界または特異除法に含まれないものについては、一般型である。
• 領域 $ \mathbb{H}_g $ における臨界定数 $ C_p $ は再帰的Pythonアルゴリズムにより計算され、$ p = \frac{g(g+1)}{2} - (g-12) $ のとき $ C_p = \frac{g+1}{12} $ となる。これにより $ L_0 $ の正性が保証される。
• $ \Gamma \subset \mathrm{Aut}(\Omega) $ が整備された算術的格子であれば、$ L_0 $ が正であれば正則バンドル $ K_{\overline{X}} $ は大きくなる。これにより $ \overline{X} $ は一般型である。
• 変動ホッジ構造理論の使用を回避し、ブルンバーベの代数的双曲的性に関する結果に対するメトリックに基づく代替手法を提供する。
• 線分束 $ L_0 $ の基底付属集合が境界 $ D $ に含まれる場合、$ \alpha > \frac{1}{C_p} $ であれば、$ \overline{X} $ の部分多様体 $ V $ で次元 $ \geq p $ のものは一般型であることが証明される。