[論文レビュー] Super-Exponential Solution in Markovian Supermarket Models: Framework and Challenge

Quan‐Lin Li|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、密度依存ジャンプマルコフ過程と微分方程式・非線形方程式のシステムを用いて、マーケット・スーパーマーケットモデルの一般化された行列解析的枠組みを提案する。このモデルにおいて固定点が超指数的減衰を示すことが示され、特に選択パラメータが短いキュー長を好む場合に顕著であり、大規模システムにおける性能評価のための新たな道筋を提供する。

ABSTRACT

Marcel F. Neuts opened a key door in numerical computation of stochastic models by means of phase-type (PH) distributions and Markovian arrival processes (MAPs). To celebrate his 75th birthday, this paper reports a more general framework of Markovian supermarket models, including a system of differential equations for the fraction measure and a system of nonlinear equations for the fixed point. To understand this framework heuristically, this paper gives a detailed analysis for three important supermarket examples: M/G/1 type, GI/M/1 type and multiple choices, explains how to derive the system of differential equations by means of density-dependent jump Markov processes, and shows that the fixed point may be simply super-exponential through solving the system of nonlinear equations. Note that supermarket models are a class of complicated queueing systems and their analysis can not apply popular queueing theory, it is necessary in the study of supermarket models to summarize such a more general framework which enables us to focus on important research issues. On this line, this paper develops matrix-analytical methods of Markovian supermarket models. We hope this will be able to open a new avenue in performance evaluation of supermarket models by means of matrix-analytical methods.

研究の動機と目的

• 標準的なキューイング理論を超える、複雑なマーケット・スーパーマーケットモデルを分析するための一般枠組みを開発すること。
• スーパーマーケットモデルに生じる無限次元の微分方程式および非線形方程式のシステムを解くという課題に取り組むこと。
• M/G/1、GI/M/1、および複数選択モデルなどの具体的な例を通じて、ヒューリスティックな理解を提供すること。
• 固定点が超指数的挙動を示す条件を確立すること。これは大規模システムにおける性能評価にとって極めて重要である。
• ランダム化ロードバランシングおよびクラウドコンピューティング環境における行列解析的手法を用いた新たな研究分野を開くこと。

提案手法

• 密度依存ジャンプマルコフ過程を用いて、割合測度のための微分方程式系を定式化する。
• 固定点のための非線形方程式系を導出し、スーパーマーケットモデルの定常状態行動を表現する。
• 到着およびサービスのダイナミクスをモデル化するために、行列解析的手法（位相型分布およびバッチ・マーケット過程（BMAPs））を適用する。
• 基礎となる出生死滅過程の無限小生成子を用いて、固定点方程式を行列形式で表現する。
• M/G/1型、GI/M/1型、および複数選択モデルといった特定のモデルを、導出された方程式を段階的に解くことで分析する。
• 固定点確率の再帰的関係を確立し、特定のパrameter条件下で超指数的減衰が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スーパーマーケットモデルの固定点が、キュー長分布においていつ超指数的減衰を示すのか。
• RQ2 非ポアソン到着および非指数的サービス時間を持つ一般マーケット・スーパーマーケットモデルを統一的に分析する枠組みをどのように構築できるか。
• RQ3 スーパーマーケットモデルにおける無限次元の微分方程式および非線形方程式のシステムを解く際の構造的および分析的課題は何か。
• RQ4 入力選択数（d）と出力選択数（f）が固定点の安定性および減衰率にどのように影響を与えるか。
• RQ5 行列解析的手法を大規模システムにおけるランダム化ロードバランシングの性能評価に体系的かつ効果的に適用できるか。

主な発見

• 入力選択数 d が出力選択数 f を超える場合、固定点のキュー長確率は二重指数的減衰を示し、超指数的減衰を示す。
• d > f の場合、固定点確率 π_k は ρ^( (d/f)^k - 1 ) / (d - f) のように減少し、極めて速い減衰を示す。
• d = f の場合、固定点は幾何分布 π_k = ρ^(k/f) に従い、指数的減衰を示す。
• d < f の場合、固定点は k → ∞ のとき π_k → ρ^(1/(f - d)) > 0 の正の下限値を有し、ρ < 1 であっても非再帰的（transient）であることを示唆する。
• m 種類の顧客を持つ複数選択モデルでは、固定点は k ≥ 2 に対して π_k = ∑_{i=1}^m π_{k-1}^{d_i} ρ_i を満たし、超指数的解が得られる。
• 本枠組みにより、再帰的システムを介して固定点解を導出可能であり、複雑なスーパーマーケットモデルにおける行列解析的性能評価への道筋を提供する。