[論文レビュー] Supersymmetric Integrable Hierarchies and String Theory

Sonia Stanciu|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 1994

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本博士論文は、形式的スーパーピアストドーレル作用素とポアソン構造を用いて、超対称Lax形式を展開し、3つの超対称KP階層（MRSKP、$σ$KP2、JSKP）を確立する。すべてのケースにおいて追加対称性の代数が超微分作用素のリー代数に同型であることを証明し、sKdV-B階層が双ハミルトニアン的であることを特定し、奇数の流れを導入することで、非臨界超ひも理論に関連する新しい超対称KdV型可積分系を提示する。

ABSTRACT

This thesis is roughly organized into two parts. The first one (the first three chapters), expository in nature, attempts to place the current work in context: at first historically, but then focusing on the Lax formalism and the Adler--Gel'fand--Dickey scheme for hierarchies of the KdV type. The second part (the last four chapters) comprises the main body of this work. It begins by developing the supersymmetric Lax formalism, introducing the ring of formal superpseudodifferential operators and the associated Poisson structures. We discuss three supersymmetric extensions of the KP hierarchy (MRSKP, \SKP2, and JSKP). We define and compute their additional symmetries and we find that the algebra of additional symmetries are in all three cases isomorphic to the Lie algebra of superdifferential operators. We discuss a new reduction of \SKP2 and the relation between MRSKP and \SKP2 is clarified. Finally we consider the (so far) only integrable hierarchy to have played a role in noncritical superstring theory (sKdV-B). We identify it, prove its bihamiltonian integrability, and extend it by odd flows. We close with a discussion of new integrable supersymmetrizations of the KdV-like hierarchies suggested by the study of sKdV-B. (This is the author's PhD Thesis from the Physics Deparment of the University of Bonn, July 1994.)

研究の動機と目的

• 超対称可積分階層の研究をひも理論および数学的物理の文脈に位置づける。
• 形式的スーパーピアストドーレル作用素と関連するポアソン構造を用いて、Lax形式の超対称拡張を開発する。
• 3つの超対称KP階層（MRSKP、$σ$KP2、JSKP）を分析し、それらの追加対称性代数を特定する。
• MRSKPと$σ$KP2階層の関係を明確にし、$σ$KP2の新しい還元を導入する。
• 非臨界超ひも理論に関連するsKdV-B階層を同定し、双ハミルトニアン的かつ可積分であることを示し、奇数の流れによって拡張する。

提案手法

• 形式的スーパーピアストドーレル作用素の環とその関連するポアソン構造を用いて形式的体系を構築する。
• Lax形式を超対称設定に拡張し、超対称可積分系の階層の構築を可能にする。
• 追加対称性はスーパーピアストドーレル作用素の枠組みを用いて定義され、計算される。
• 追加対称性の代数的構造が超微分作用素のリー代数に同型であることが分析され、示される。
• sKdV-B階層はそのハミルトニアン作用素とポアソン括弧を介して双ハミルトニアン系であることが特定される。
• 奇数の流れが導入され、sKdV-B階層が拡張され、可積分性が保たれるとともに、新しい超対称KdV型系が明らかになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MRSKP、$σ$KP2、およびJSKPのような超対称KP型階層における追加対称性の構造は何か？
• RQ2 MRSKP階層と$σ$KP2階層はどのように関係しているか？また、$σ$KP2の新しい還元を一貫して定義できるか？
• RQ3 非臨界超ひも理論に関連するsKdV-B階層は、双ハミルトニアン的かつ可積分的か？
• RQ4 sKdV-B階層は奇数の流れによって一貫して拡張可能であり、新たな可積分系を生じるか？
• RQ5 sKdV-Bの研究から、どのような新しい超対称KdV型階層の一般化が生じるか？

主な発見

• MRSKP、$σ$KP2、およびJSKPにおける追加対称性の代数は、超微分作用素のリー代数に同型である。
• $σ$KP2の新しい還元が構成され、その構造と他の超対称階層との関係が明確にされた。
• sKdV-B階層が双ハミルトニアン的であることが証明され、可積分性と非臨界超ひも理論における関連性が確認された。
• sKdV-B階層は奇数の流れによって拡張され、可積分性が保たれるとともに、新しい超対称的構造が明らかになった。
• 本研究により、sKdV-Bの構造に触発された、KdV型階層の新たな可積分的超対称化が示唆された。