[論文レビュー] Sur la cohomologie d'un fibre tautologique sur le schema de Hilbert d'une surface

Gentiana Danila|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、複素数体上の滑らかで射影的な曲面 $X$ の punctual Hilbert scheme $X^{[m]}$ 上の tautological バンドルを、確定バンドルでねじ込んだもののコホモロジーを計算する。インシデント多様体 $X^{[m,m+1]}$ 上での再帰的議論と、Kodaira の消去定理およびスペクトル系列の応用により、$ω_X^{-1} \otimes A$、$ω_X^{-1} \otimes L \otimes A$、および $A$ が非常に正である条件の下で、高次コホモロジー群が消えることを証明し、大域切断の空間が $S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$ に同型であることを示す。これは $π^2$ 上の Le Potier の Strange Duality 予想を支持する。$A = \mathcal{O}_X$ の場合への一般化により、$ω_X^{-1}$ および $ω_X^{-1} \otimes L$ が非常に正であるとき、$H^0(X^{[m]}, L^{[m]}) \cong H^0(X, L)$ である公式が得られる。

ABSTRACT

We compute the cohomology spaces for the tautological bundle tensor the determinant bundle on the punctual Hilbert scheme H of subschemes of length n of a smooth projective surface X. We show that for L and A invertible vector bundles on X, and w the canonical bundle of X, if $w^{-1}\otimes L$, $w^{-1}\otimes A$ and A are ample vector bundles, then the higher cohomology spaces on H of the tautological bundle associated to L tensor the determinant bundle associated to A vanish, and the space of global sections is computed in terms of $H^0(A)$ and $H^0(L\otimes A)$. This result is motivated by the computation of the space of global sections of the determinant bundle on the moduli space of rank 2 semi-stable sheaves on the projective plane, supporting Le Potier's Strange duality conjecture on the projective plane.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な曲面 $X$ に対して、複素数体上での punctual Hilbert scheme $X^{[m]}$ 上の tautological バンドルを、確定バンドルでねじ込んだもののコホモロジーを計算すること。
• 特定の正則バンドルのテンソル冪に関する非常に正の条件の下で、高次コホモロジー群の消去を確立すること。
• $H^0(A)$ および $H^0(X, L \otimes A)$ を用いた明示的な公式を導出することにより、Le Potier の Strange Duality 予想を支持すること。
• $A = \mathcal{O}_X$ の場合への一般化を行い、$ω_X^{-1}$ および $ω_X^{-1} \otimes L$ が非常に正であるとき、$H^0(X^{[m]}, L^{[m]})$ の公式を得ること。

提案手法

• 長さ $m$ および $m+1$ の部分スキームを含むペア $(Z, \xi)$ をパラメトライズするインシデント多様体 $X^{[m,m+1]} \subset X^{[m+1]} \times X^{[m]}$ の使用。
• Leray スペクトル系列および K\
• K\
• K\

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L$ および $A$ がどのような条件下で、punctual Hilbert scheme $X^{[m]}$ 上の $L^{[m]} \otimes d_A^m$ の高次コホモロジーが消えるか。
• RQ2 $L^{[m]} \otimes d_A^m$ の大域切断の空間が $H^0(A)$ および $H^0(X, L \otimes A)$ の形で明示的に計算可能か。
• RQ3 $X^{[m]}$ 上の高次コホモロジーの消去は、$π^2$ 上の Le Potier の Strange Duality 予想とどのように関係するか。
• RQ4 $A = \mathcal{O}_X$ のとき、$ω_X^{-1}$ および $ω_X^{-1} \otimes L$ が非常に正である条件下で、$H^0(X^{[m]}, L^{[m]})$ の構造はどのようなものか。
• RQ5 インシデント多様体 $X^{[m,m+1]}$ を用いた再帰的議論により、コホモロジー計算を簡略化できるか。

主な発見

• $\u03c9_X^{-1} \otimes A$、$\u03c9_X^{-1} \otimes L \otimes A$、および $A$ が非常に正であるならば、すべての $q > 0$ に対して $H^q(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) = 0$ である。
• $H^0(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) \cong S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$ が成り立つ。
• $A = \mathcal{O}_X$ のとき、結果は $H^0(X^{[m]}, L^{[m]}) \cong H^0(X, L)$ に簡略化され、$ω_X^{-1}$ および $ω_X^{-1} \otimes L$ が非常に正である限り成り立つ。
• $H^q(X^{[m]}, d_A^m)$ の $q > 0$ における消去は、Kawamata-Viehweg の定理により、$ω_X^{-1} \otimes A$ の非常に正性から導かれる。
• $X = \mathbb{P}^2$、$L = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)$、$A = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ のとき、正の次数におけるコホモロジーは消え、大域切断は $S^{m-1}(H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))) \otimes H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(4))$ に同型である。
• $X^{[m,m+1]}$ の再帰的構造とスペクトル系列の使用により、$X^{[m+1]}$ 上のコホモロジーを $X^{[m]} \times X$ および $X^{[m]}$ 上のコホモロジーに還元して帰納法を進められる。