[논문 리뷰] Surplus-invariant risk measures

Niushan Gao, Cosimo Munari|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 16.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 벡터 격자 프레임워크 내에서 잉여 불변 위험 측정의 포괄적인 이론을 수립하여 이전의 위험 측정 결과를 통합하고 확장한다. 이는 우세한 확률 공간(예: 오르리치 공간)과 표준 위상 도구가 실패하는 강건하고 비우세한 모델 모두에 적용되는 이중 표현, 확장 정리, 그리고 구조적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

This paper presents a systematic study of the notion of surplus invariance, which plays a natural and important role in the theory of risk measures and capital requirements. So far, this notion has been investigated in the setting of some special spaces of random variables. In this paper we develop a theory of surplus invariance in its natural framework, namely that of vector lattices. Besides providing a unifying perspective on the existing literature, we establish a variety of new results including dual representations and extensions of surplus-invariant risk measures and structural results for surplus-invariant acceptance sets. We illustrate the power of the lattice approach by specifying our results to model spaces with a dominating probability, including Orlicz spaces, as well as to robust model spaces without a dominating probability, where the standard topological techniques and exhaustion arguments cannot be applied.

연구 동기 및 목표

• 벡터 격자 내에서 잉여 불변의 통합적이고 일반적인 이론을 개발하여 이전 연구들이 특정 함수 공간에 국한된 것을 확장한다.
• 금융 규제에 더 넓은 적용 가능성을 부여하기 위해 잉여 불변 위험 측정의 이중 표현과 확장 정리를 수립한다.
• 밴드, 밴드 사영, 순서 수렴과 같은 격자 이론적 도구를 사용하여 잉여 불변 수용 집합의 구조를 특성화한다.
• 전통적인 위상 기법이 적용되지 않는 우세한 확률 측도가 없는 강건한 모델 공간을 다룬다.
• 한정된 책임 및 CCP 맥락에서 자본 적정성과 증거금 요구 조건과 관련된 잉여 불변의 금융적 함의를 명확히 한다.

제안 방법

• 손실 부분에만 의존하도록 보장하기 위해, 만약 min(Y,0) = min(X,0) 이고 X ∈ A 이면 Y ∈ A 라는 조건을 통해 잉여 불변을 공식화한다.
• 금융 포지션을 모델링하기 위해 순서 수렴, 비우세한 순서 수렴, 밴드 분해와 같은 벡터 격자 이론을 적용한다.
• 순서 연속 쌍대공간과 위상(σ(X, I) 및 |σ|(X, I))을 사용하여 잉여 불변 위험 측정의 이중 표현을 유도한다.
• 순서 완비 격자에서의 밴드 사영과 사영 성질을 적용하여 포지션을 분해하고 수용 집합을 분석한다.
• 순서 연속 함수형을 사용하여 이상에서 더 큰 격자로의 잉여 불변 위험 측정의 확장 정리를 수립한다.
• 비우세한 확률 측도가 없는 정규 공간(예: 오르리치 공간)과 강건한 모델(예: 우세한 측도가 없는 L^0)에 결과를 적용하며, 비우세한 순서 수렴을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터 격자 이론을 사용하여 특정 함수 공간을 초월해 잉여 불변을 체계적으로 공식화하고 일반화할 수 있는가?
• RQ2 잉여 불변 위험 측정의 이중 표현은 무엇이며, 순서 연속 선형 함수형과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 잉여 불변 위험 측정이 부분공간에서 더 큰 벡터 격자로 확장될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 수용 집합의 구조적 성질(예: 순서 수렴 또는 비우세한 순서 수렴에 대한 닫힘)이 잉여 불변 성질에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 우세한 확률 측도가 없는 강건한 금융 모델에서 잉여 불변의 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 잉여 불변 수용 집합은 금융 포지션의 음수 부분에만 의존함을 특성화하여 하방 리스크에 초점을 맞춘다.
• 순서 연속 쌍대공간을 사용하여 잉여 불변 위험 측정의 이중 표현을 도출함으로써 기능 해석적 특성화를 가능하게 한다.
• 밴드 사영과 순서 연속 함수형을 통해 잉여 불변 위험 측정의 확장 정리를 수립하여 격자 하위공간 간 일관성을 확보한다.
• 우세한 확률 측도가 있는 공간(예: 오르리치 공간)에서는 순서 수렴이 우세한 거의 확실한 수렴과 일치하며, 고전적 분석이 가능하다.
• 우세한 측도가 없는 강건한 모델에서는 비우세한 순서 수렴이 순서 수렴을 대체하여 표준 위상 도구가 실패하는 상황에서도 분석이 가능하다.
• VaR 수용 집합은 잉여 불변이지만, ES는 그렇지 않으며, 이는 규제 설계 배경의 금융 직관을 확인한다.