[論文レビュー] Symmetric Groups and Expander Graphs

Martin Kassabov|ArXiv.org|May 28, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、すべての n に対して、有界次数の拡張グラフを形成する一様有界な生成集合を、交代群および対称群に対して明示的に構成する。表現論の技術、特にカフマン定数と相対的性 T を用いて、一様スペクトルギャップを証明し、対称群における拡張グラフに関する長年の未解決問題を解決する。これは、無限群の性 T を用いて得られるものとは異なり、初めてのこのような構成である。

ABSTRACT

We construct explicit generating sets S_n and ilde S_n of the for the alternating and the symmetric groups, which turn the Cayley graphs C(Alt(n), S_n) and C(Sym(n), ilde S_n) into a family of bounded degree expanders for all n. This answers affirmatively an old question which has been asked many times in the literature. These expanders have many applications in the theory of random walks on groups, card shuffling and other areas.

研究の動機と目的

• 対称群および交代群のカイリーグラフが、一様有界な生成集合を用いて有界次数の拡張グラフ族を形成できるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• すべての n に対して、そのカイリーグラフが拡張グラフである、一様有界な生成集合を Alt(n) および Sym(n) に対して明示的に構成すること。
• 無限群のカフマンの性 T を用いて得られるものとは異なり、新たな拡張グラフ族の構成を提供することで、拡張グラフ族の理論的枠組みを拡張すること。
• すべての非アーベル有限単純群が、拡張カイリーグラフを生成する有界生成集合を備えるというリューボツキー予想を支持すること。

提案手法

• 一様スペクトルギャップと一様有界なカフマン定数の等価性を用いて、拡張性を確立する。
• 有界生成と小規模な群の相対的カフマン定数を適用し、対称群のカフマン定数の下界を導出する。
• 特性の上界と対称群におけるランダムウォークの混合時間推定を用いて、スペクトルギャップを制御する。
• 特に SL₃ₛ(𝔽₂) の行列群の積を用いて、ベクトル空間に作用させることで、大きな交代群を生成する生成集合を構成する。
• 群 Δ(H) を用いた zig-zag プロダクトに類似した構成により、交代群の積から拡張グラフを構築する。
• 無限個の Δ(SL₃ₛ(𝔽₂)) のプロファイント完備化を用いて、性 τ を持つ、ℤ に上に写像されない、すべての稠密部分群の存在を示し、一様拡張性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称群および交代群のカイリーグラフを、一様有界な生成集合を用いて、有界次数の拡張グラフ族にできるか？
• RQ2 カフマンの性 T を持つ無限群に依存せずに、このような拡張グラフを構成することは可能か？
• RQ3 n が増加するに従い、対称群のカフマン定数が適切な生成集合のもとで一様に有界のまま保たれるか？
• RQ4 すべての非アーベル有限単純群が、拡張カイリーグラフを生成する有界生成集合を備えるというリューボツキー予想が、交代群について検証可能か？
• RQ5 相対的性 T と有界生成は、対称群における一様スペクトルギャップを確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、すべての n に対して、Alt(n) および Sym(n) のための明示的な生成集合 Sₙ および Šₙ を構成し、それに対応するカイリーグラフが一様有界次数の ε-拡張グラフであることを示した。
• これらの生成集合のカフマン定数は、正の普遍定数 ε > 0 で一様に下から有界であるため、一様スペクトル拡張が保証される。
• この構成は、性 T を持つ無限群に依存せず、新たな独立した拡張グラフ族の出所を提供する。
• この手法により、無限個の交代群の積における、ℤ に上に写像されない性 τ を持つ稠密部分群が存在することが示され、これはプロファイント群論における新しい結果である。
• d = 4 または d = 5 のとき、Alt(N) 上の d 個の生成元のランダムウォークは対数時間で混合し、トランプシャッフルや関連プロセスの高速混合を示唆する。
• この構成は、リー型の有限単純群の他の族へ一般化可能であり、すべての非アーベル有限単純群にわたる一様拡張性に関するより広範なリューボツキー予想を支持する。