[論文レビュー] Symmetry protected topological phases from decorated domain walls

Xie Chen, Yuan-Ming Lu+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 18, 2013

Topological Materials and Phenomena被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、1次元、2次元、3次元における対称性保護型トポロジカル（SPT）相の物理的構成を、拡散したZ₂ドメインウォールに低次元SPT状態を装飾することによって提案する。Z₂ドメインウォール自体が非自明なSPT相にあるとき、それらが凝縮されると、高次元SPT秩序が実現されることを示しており、直感的な波動関数を提供するとともに、群コhomologyおよび場理論と結びつける。この構成により、ギャウジング理論におけるエッジモードおよび射影対称性表現が説明される。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases with unusual edge excitations can emerge in strongly interacting bosonic systems and are classified in terms of the cohomology of their symmetry groups. Here we provide a physical picture that leads to an intuitive understanding and wavefunctions for several SPT phases in d=1,2,3 dimensions. We consider symmetries which include a Z_2 subgroup, that allows us to define domain walls. While the usual disordered phase is obtained by proliferating domain walls, we show that SPT phases are realized when these proliferated domain walls are `decorated', i.e. are themselves SPT phases in one lower dimension. For example a d=2 SPT phase with Z_2 and time reversal symmetry is realized when the domain walls that proliferate are themselves in a d=1 Haldane/AKLT state. Similarly, d=3 SPT phases with Z_2 * Z_2 symmetry emerges when domain walls in a d=2 SPT with Z_2 symmetry are proliferated. The resulting ground states are shown to be equivalent to that obtained from group cohomology and field theoretical techniques. The result of gauging the Z_2 symmetry in these phases is also discussed. An extension of this construction where time reversal plays the role of Z_2 symmetry allows for a discussion of several d=3 SPT phases. This construction also leads to a new perspective on some well known d=1 SPT phases, from which exactly soluble parent Hamiltonians may be derived.

研究の動機と目的

• 抽象的なコhomology分類を超えて、相互作用を有するボソン系における対称性保護型トポロジカル（SPT）相の物理的で直感的な像を提供すること。
• Z₂ドメインウォールが低次元SPT状態である場合、それが体積内で増幅（凝縮）されると、SPT秩序がどのようにして出現するかを説明すること。
• 装飾されたドメインウォール構成が、群コhomologyやチャーン＝シンモン場理論といった既存の枠組みとどのように結びつくかを明らかにすること。
• この構成から、既知のSPT相の厳密可解ハミルトニアンを導出すること。
• Z₂対称性をギャウジングした際のドメインウォール励起に及ぼされる射影的対称性の影響を分析すること。

提案手法

• Z₂ × G 対称性を持つ系におけるトポロジカルな欠陥としてのZ₂ドメインウォールを用いる。ここでGは低次元SPT状態の対称性群である。
• ドメインウォールが体積内で増幅（凝縮）されるのはトポロジカルに自明な相であるが、SPT相では、それらのウォールが1次元低い次元の非自明なSPT状態で「装飾」されていると仮定する。
• 例えば、1次元Z₂ドメインウォールがHaldane/AKLT鎖（1次元SPT状態）で装飾されると、2次元Z₂ × Z₂^T 対称性を持つSPT相が実現する。
• メジャナ型およびZ₂ゲージ自由度を用いた双対スピン模型への写像により、厳密可解性とエッジ状態の解析が可能になる。
• 双対変数を用いて低エネルギーエッジ理論を導出し、Z₂および時間反転対称性の下で特定の変換を受けるチャープ・ラッティーガー液体が得られる。
• エッジモードが時間反転対称性の下で射影的変換を受けることから、SPT相に予想される射影表現と整合することが確認され、構成の妥当性が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元におけるSPT相は、ドメインウォールの装飾を介して、どのように低次元SPT状態から物理的に構成可能か？
• RQ2 強い電子相関を有するボソン系において、Z₂ドメインウォールの増幅が非自明なSPT秩序を実現する役割を果たすか？
• RQ3 装飾されたドメインウォール構成におけるエッジモードは、どのようにして対称性群の射影的表現を実現するか？
• RQ4 このような装飾SPT相におけるエッジ状態の低エネルギー有効場理論は何か？
• RQ5 Z₂対称性をギャウジングすると、ドメインウォールのトポロジカル性およびその量子数はどのように変化するか？

主な発見

• 装飾されたドメインウォール構成は、群コhomologyによる分類と同一の結果を再現し、SPT相分類への有効性を確認する。
• Z₂ドメインウォールが境界で切断されると、その端点には低次元SPT状態のエッジモードが実現し、エッジモードのトポロジカル保護が説明される。
• 2次元Z₂ × Z₂^T SPT相の低エネルギーエッジ理論は、特定の変換性を持つチャープ・ラッティーガー液体である：Z₂はφ₁に符号反転を施し、時間反転はφ₁およびφ₂にシフトを施す。
• ドメインウォール演算子は時間反転の下でD(x) → -i D†(x)と変換され、ドメインウォールが射影的時間反転量子数を持つことが示され、エッジ状態の射影表現と整合的である。
• この構成により、1次元Haldane鎖や2次元Z₂ × Z₂^T SPT相といった既知のSPT相の厳密可解ハミルトニアンが、Z₂ゲージ自由度およびメジャナ型自由度を有する双対スピン模型に写像することで得られる。
• 双対模型から導かれた有効場理論は、SPT相のK行列チャーン＝シンモン理論と一致し、トポロジカル場理論的手法との整合性が確認される。