[論文レビュー] Symplectic reflection algebras in positive characteristic

Kenneth A. Brown, Kanokporn Changtong|ArXiv.org|Sep 14, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正の特性を持つ代数閉体上でのシンプレクティック反射代数の基礎的性質を確立し、中心上の有限モジュールであることを証明している（特性0とは異なり、中心が自明でない）。有理Cherednik代数に関しては、PI次数を $ p^n|\Gamma| $、Goldie階数を $ |\Gamma| $ と特定し、中心のアズマヤ部分集合と滑らかさ部分集合が一致することを示している。

ABSTRACT

Basic properties of symplectic reflection algebras over an algebraically closed field k of positive characteristic are laid out. These algebras are always finite modules over their centres, in contrast to the situation in characteristic 0. For the subclass of rational Cherednik algebras, we determine the PI-degree and the Goldie rank, and show that the Azumaya and smooth loci of the centre coincide.

研究の動機と目的

• 正の特性代数閉体上でのシンプレクティック反射代数の基本的表現論的およびホモロジー的性質を確立すること。
• 特に有理Cherednik代数の場合に、中心の構造とその表現理論との関係を調査すること。
• 正の特性における有理Cherednik代数のGoldie階数とPI次数を特定すること。
• 代数のアズマヤ部分集合が中心の滑らかさ部分集合と一致することを証明し、特性0における重要な結果を正の特性へ拡張すること。

提案手法

• 特性0におけるPBW定理と変形理論を正の特性へ適応し、シンプレクティック反射代数が素的ネーター的かつアウスランド-レギュラーであることを示す。
• 対称的イデムポテン $ e = \frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma $ を用いて対称的部分代数 $ eHe $ を定義し、これがネーター的整域かつ最大順序であることを示す。
• $ H $ と $ eHe $ 間のモリタ対応を確立し、サタケ準同型を用いて $ Z(H) \cong Z(eHe) $ を証明する。
• $ V = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^* $ とし、 $ \Gamma $ が擬反射群として作用する有理Cherednik代数に特化する。
• 対称代数 $ S(\mathfrak{h}) $ および $ S(\mathfrak{h}^*) $ に作用するフロベニウス写像 $ (-)^p $ を用いて、中心的部分代数 $ Z_0 = (S(\mathfrak{h})^p)^\Gamma \otimes (S(\mathfrak{h}^*)^p)^\Gamma $ を構成する。
• 判別式に関連する $ \Gamma $-不変要素 $ \delta $ における局所化を用いて表現を解析し、 $ \mathcal{D}(\mathfrak{h}^{\text{reg}}) \ast \Gamma $ および $ S(\mathfrak{h}^*)[\delta]^{-1} \ast \Gamma $ を用いて次元の上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性におけるシンプレクティック反射代数のGoldie次元は $ |\Gamma| $ に等しいか？
• RQ2 正の特性における有理Cherednik代数のPI次数は $ p^n|\Gamma| $ に等しいか？
• RQ3 すべての最大次元 $ p^n|\Gamma| $ の単純モジュールは、ランク $ p^n $ の正規的 $ k\Gamma $-モジュールか？
• RQ4 どのパrameter $ \mathbf{c} $ に対して中心 $ \mathrm{Maxspec}(Z(H)) $ が滑らかか？
• RQ5 代数 $ H $ のアズマヤ部分集合は $ \mathrm{Maxspec}(Z(H)) $ の滑らかさ部分集合と一致するか？

主な発見

• シンプレクティック反射代数 $ H = H_{1,\mathbf{c}} $ は中心的部分代数 $ Z_0 = (S(\mathfrak{h})^p)^\Gamma \otimes (S(\mathfrak{h}^*)^p)^\Gamma $ 上でランク $ p^{2n}|\Gamma|^3 $ の自由モジュールである。
• $ H $ のGoldie階数は $ |\Gamma| $ であり、有理Cherednikの場合の予想を裏付ける。
• $ H $ のPI次数は $ p^n|\Gamma| $ であり、これは単純 $ H $-モジュールの最大次元に一致する。
• 最大次元 $ p^n|\Gamma| $ を持つすべての既約 $ H $-モジュールは、ランク $ p^n $ の正規的 $ k\Gamma $-モジュールである。これは表現に関する構造的制約を確認する。
• $ H $ のアズマヤ部分集合は $ \mathrm{Maxspec}(Z(H)) $ の滑らかさ部分集合と一致する。これは、最大次元の単純モジュールが中心の滑らかな点にのみ存在することを意味する。
• 中心 $ Z(H) $ はネーター的整域であり、 $ H $ は中心上の有限モジュールである。これは特性0の場合とは異なり、 $ t \neq 0 $ のとき $ Z(H) = k $ となることとは大きな違いである。