[論文レビュー] Symplectic surgeries from singularities

Ivan Smith, Richard Thomas|ArXiv.org|Dec 16, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 24

ひとこと要約

本論文は、複素特異点の退化における消滅サイクルとして生じるラグラジアン球面の配置を、標準的なラグラジアン吹き上げを用いてシンプレクティック解消に置き換える、シンプレクティック手術フレームワークを導入する。主な貢献は、例外的除集合上に台を持つ閉2形式によって形式を変形することで、シンプレクティック構造を保存するグローバルなシンプレクティック手術構成であり、シンプレクティック幾何学における滑らか化と解消の間の遷移を可能にする。

ABSTRACT

We describe a variety of symplectic surgeries (not a priori compatible with Kahler structures) which are obtained by combining local Kahler degenerations and resolutions of singularities. The effect of the surgeries is to replace configurations of Lagrangian spheres with symplectic submanifolds. We discuss several examples in detail, relating them to existence questions for symplectic manifolds with $c_1>0, c_1=0, c_1<0$ in four and six dimensions.

研究の動機と目的

• 孤立的超曲面特異点の文脈において、ラグラジアン消滅サイクルを複素解消に置き換える標準的なシンプレクティック手術を確立すること。
• シンプレクティック平行移動がすべての滑らか化 $X_t$ がシンプレクティック同型であることを保証し、一貫性のあるグローバルな手術構成を可能にすること。
• ラグラジアン球面の木構造的配置に対して、その近傍におけるシンプレクティック構造がシンプレクティック同型を除いて一意に定まることを示すこと。
• 指定されたトポロジー（例えば、ファノ、カラビ＝ヤウ、一般型）を持つシンプレクティック多様体を、ラグラジアン配置への手術によって構成する一般的な方法を提供すること。

提案手法

• 全空間 $\mathcal{X} = \{(z,t) \in \mathbb{C}^{n+1} \times \mathbb{C} \mid f(z) = t\}$ 沿いのシンプレクティック平行移動を用いて、すべての $X_t$ がシンプレクティック同型な多様体として同定する。
• 例外的被覆がラグラジアン球面の集合であるラグラジアン吹き上げ写像 $X_0 \leftarrow X_t$ を構成する。これは特異点の消滅サイクルとして実現される。
• $X_0$ の特異点を吹き上げて $\widehat{X}$ を得る。ここに、非退化でない2形式 $\omega$ が備わっており、例外的除集合にPoincaré双対な閉2形式 $\sigma$ による摂動で非退化になる。
• $\sigma$ を局所モデル $\mathbb{C}^{n+1} \times \mathbb{P}^n$ 上のケーラー形式とコhomologous に定義し、$\omega + \varepsilon \sigma$ が十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対してシンプレクティックであることを示す。
• 木構造的ラグラジアン球面配置の近傍におけるシンプレクティック構造の一意性（プラークド・ワインシュタイン近傍構成を用いて）を用いて、手術が適切に定義されることを保証する。
• このような配置を含むグローバルなシンプレクティック多様体に手術を適用し、制御されたチャーン類（例えば、ファノ、カラビ＝ヤウ、一般型）を持つ解消上に新たなシンプレクティック構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグラジアン消滅サイクルを、シンプレクティック構造を保存する形で複素解消に置き換えるシンプレクティック手術を構成できるか？
• RQ2 ラグラジアン球面の配置の近傍におけるシンプレクティック構造が、シンプレクティック同型を除いて一意に定まるのはどのような条件下か？
• RQ3 シンプレクティック平行移動は、異なる滑らか化を関連づけ、グローバルな手術構成を可能にするためにどのように用いられるか？
• RQ4 例外的除集合と摂動 $\omega + \varepsilon \sigma$ は、手術後のグローバルなシンプレクティック性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 この手術フレームワークは、指定された第一チャーン類（例えば、$c_1 > 0$、$c_1 = 0$、$c_1 < 0$）を持つシンプレクティック多様体の構成に応用可能か？
• RQ6 高次元の場合において、特異点のリンク上の接触構造は、シンプレクティック被覆をどのように区別するか？

主な発見

• 手術は、ラグラジアン球面（消滅サイクル）を、標準的なラグラジアン吹き上げを用いてシンプレクティック解消に置き換える。例外的被覆はラグラジアンサイクルである。
• すべての滑らか化 $X_t$ はシンプレクティック平行移動によりシンプレクティック同型であり、手術構成の一貫性が保証される。
• ラグラジアン球面の木構造的配置に対して、その近傍におけるシンプレクティック構造はシンプレクティック同型を除いて一意に定まる。
• 十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、吹き上げ空間 $\widehat{X}$ 上で摂動形式 $\omega + \varepsilon \sigma$ はグローバルにシンプレクティックである。これは $\omega$ と $\sigma$ が重複領域で非退化であるためである。
• 手術は局所モデル $\mathbb{C}^{n+1} \times \mathbb{P}^n$ のシンプレクティック幾何学と整合する。ここで $\sigma$ は例外的除集合近傍でケーラー形式と一致する。
• この構成により、$c_1 > 0$、$c_1 = 0$、$c_1 < 0$ の多様体におけるシンプレクティック遷移が可能となり、シンプレクティック構造の存在に関する問題の解決に役立つ。