[論文レビュー] Synthesis of unitaries with Clifford+T circuits

Vadym Kliuchnikov|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、任意のn-qubitユニタリをClifford+T回路で近似するための新規手法を提示する。O(4ⁿn(log(1/ε) + n))ゲートと2つのアーキレージを用い、環ℤ[i, 1/√2]への丸めとハウスホルダー反射による正確な合成を活用する。これは漸近的に最適なゲート数を達成し、従来の二重指数的リソースを要する正確な合成手法を上回る。

ABSTRACT

We describe a new method for approximating an arbitrary $n$ qubit unitary with precision $\varepsilon$ using a Clifford and T circuit with $O(4^{n}n(\log(1/\varepsilon)+n))$ gates. The method is based on rounding off a unitary to a unitary over the ring $\mathbb{Z}[i,1/\sqrt{2}]$ and employing exact synthesis. We also show that any $n$ qubit unitary over the ring $\mathbb{Z}[i,1/\sqrt{2}]$ with entries of the form $(a+b\sqrt{2}+ic+id\sqrt{2})/2^{k}$ can be exactly synthesized using $O(4^{n}nk)$ Clifford and T gates using two ancillary qubits. This new exact synthesis algorithm is an improvement over the best known exact synthesis method by B. Giles and P. Selinger requiring $O(3^{2^{n}}nk)$ elementary gates.

研究の動機と目的

• 任意のn-qubitユニタリをCliffordゲートとTゲートのみで効率的に近似する方法を開発すること。
• 従来の手法と比較して、環ℤ[i, 1/√2]上のユニタリの正確な合成に必要なゲート数を削減すること。
• 平方根を避け、基本演算（加算、減算、1/√2による乗算）に関して代数的閉包を保つ構造を保存する分解を提供すること。
• 固定されたキュービット数のもとで、近似および正確な合成の両方において、ゲート数の漸近的最適性を達成すること。
• 複数キュービットユニタリの正確な合成において、従来の二重指数的ゲート数を上回る手法を改善すること。

提案手法

• 本手法は、n-qubitユニタリを2ⁿ個の反射演算子と恒等行列である対角ユニタリの積として表現するハウスホルダー分解を用いる。
• 反射演算子は、|wⱼ±⟩ = (|1⟩⊗|j⟩ ± |0⟩⊗|uⱼ⟩)/√2 の形のユニタリベクトルから構築され、|uⱼ⟩は目標ユニタリUの列である。
• アルゴリズムは、各列ベクトル|uⱼ⟩をℤ[i, 1/√2]の成分を持つベクトルに丸め、加算、減算、1/√2による乗算に関して代数的構造を保存する。
• 各反射は、1つのアーキレージキュービットを用いた制御構成と、ℤ[i, 1/√2]からの2つの反射を組み合わせることで近似され、正確なClifford+T合成が可能になる。
• 近似精度は、各成分をO(log(1/ε))ビットに丸めることで制御され、フロベニウスノルム距離が≤ ε となるように保証される。
• ℤ[i, 1/√2]上のユニタリの正確な合成は、2つのアーキレージを用い、O(4ⁿnκ)ゲートで達成され、κは分母の指数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のn-qubitユニタリは、Clifford+T回路を用いて、nおよびεに関して漸近的に最適なゲート数で近似可能か？
• RQ2 ℤ[i, 1/√2]上のユニタリの正確な合成は、従来の手法と比較して指数的改善が達成可能か？
• RQ3 平方根を避け、基本演算に関して閉包を保つ分解は、より効率的な合成を可能にするか？
• RQ4 目標ユニタリの構造を合成プロセスに保存することで、部分的に指定されたまたはスパースな行列に対して効率が向上するか？
• RQ5 正確および近似合成の両方において、効率的なゲート数を維持しながらアーキレージ要件を削減可能か？

主な発見

• 本稿では、任意のn-qubitユニタリが、フロベニウス距離ε以内にO(4ⁿn(log(1/ε) + n))のCliffordおよびTゲートと、最大2つのアーキレージを用いて近似可能であることを確立した。
• 固定nのもとで、ゲート数の漸近的最適性が達成され、情報理論的下界と一致する。
• 形式 (a + b√2 + ic + id√2)/2ᵏ を持つℤ[i, 1/√2]上のn-qubitユニタリの正確な合成は、2つのアーキレージを用い、O(4ⁿnk)のCliffordおよびTゲートで達成される。
• この正確な合成手法は、GilesとSelingerのO(3²ⁿnk)ゲート数を上回り、指数のオーダーを二重指数的から指数的へと削減した。
• アルゴリズムは平方根の計算を避け、加算、減算、1/√2による乗算のみを用い、ℤ[i, 1/√2]への属性を保ったままである。
• 各成分を精度2⁻ᵐに丸めた場合、元の反射演算子と近似反射演算子のフロベニウス距離は、m = ⌈n/2 + log₂(1/ε²)⌉ + 5 とするとε以下に抑えられる。