[论文解读] $t$-aspect subconvexity for $GL(2) imes GL(2)$ $L$-function

Ratnadeep Acharya, Prahlad Sharma+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过使用 $GL(1)$ 圆法，建立了 $GL(2) \times GL(2)$ $L$-函数在 $t$-方面的一个次凸界，得到了中心 $L$-值的指数 $1 - 1/16 + \epsilon$。该结果改进了先前的界限，并且对尖形式和 Eisenstein 系列均适用。

ABSTRACT

In this paper we shall prove a subconvexity bound for $GL(2) imes GL(2)$ $L$-function in $t$-aspect by using a $GL(1)$ circle method.

研究动机与目标

• 建立与两个 $GL(2)$ 自守形式相关的 Rankin-Selberg $L$-函数中心值 $L(1/2 + it, f \otimes g)$ 的次凸界。
• 在不依赖 $f$ 或 $g$ 为尖形式的条件下，将次凸界扩展到 $t$-方面，包括 $g$ 为 Eisenstein 系列的情况。
• 通过实现 $|t|^{1 - 1/16 + \epsilon}$ 而非凸界 $|t|^{1+\epsilon}$ 中的指数，改进了先前在 $t$-方面的结果。
• 开发一种不依赖谱理论或正性假设的方法，结合 $GL(1)$ 圆法、导子降低和 delta 方法技术。

提出的方法

• 应用近似函数方程和二元划分，将 $L$-函数简化为估计指数和 $S(N) = \sum_{n \sim N} \lambda_f(n)\lambda_g(n)n^{-it}$。
• 通过 Duke、Friedlander 和 Iwaniec 的 delta 方法使用 $GL(1)$ 圆法，分离 $\lambda_f(n)$ 和 $\lambda_g(n)n^{-it}$ 中的振荡，引入光滑截断和傅里叶展开。
• 通过 Mellin 变换和光滑单位分解引入 $\nu$ 的对偶和，实现导子降低，将问题简化为带有指数扭转的双线性型。
• 对来自相位函数的振荡积分应用驻相法和二阶导数估计，特别是针对 $k \neq 0$ 项。
• 通过变量替换和截断函数将积分局部化到相位具有非退化临界点的关键区域。
• 优化参数 $K$、$Q$ 和 $C$ 的选择以平衡误差项，最终最小化 $S(N)/\sqrt{N}$ 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $t$-方面建立 $L(1/2 + it, f \otimes g)$ 的次凸界，且指数严格小于 1？
• RQ2 $GL(1)$ 圆法能否被调整用于 $GL(2) \times GL(2)$ $L$-函数，以实现此类界限而不依赖谱理论或正性假设？
• RQ3 使得 $L(1/2 + it, f \otimes g) \ll |t|^{1 - \delta + \epsilon}$ 成立的最优指数 $\delta$ 是多少？该指数能否超越先前结果？
• RQ4 该方法是否可扩展至非尖形式 $g$，例如 Eisenstein 系列，以在 $t$-方面为 $GL(2)$ $L$-函数提供次凸界？

主要发现

• 本文证明了 $GL(2) \times GL(2)$ $L$-函数在 $t$-方面的次凸界 $L(1/2 + it, f \otimes g) \ll_\epsilon |t|^{1 - 1/16 + \epsilon}$。
• 该方法具有鲁棒性，不要求 $f$ 或 $g$ 为尖形式，因此当 $g$ 为 Eisenstein 系列时，该界限同样适用。
• 作为推论，得到了 $GL(2)$ $L$-函数的界限 $L(1/2 + it, f) \ll_\epsilon |t|^{1/2 - 1/32 + \epsilon}$，优于先前结果。
• 该界限通过 $GL(1)$ 圆法的创新应用实现，结合导子降低和对振荡积分的细致分析。
• 误差项通过驻相法和二阶导数估计得到控制，最优参数选择 $K = t^{3/4}$ 最小化了最终界限。
• 该结果改进了 Michel 和 Venkatesh 的指数 $1 - \delta$，表明在此设定下 $\delta \geq 1/16$ 是可实现的。