[論文レビュー] Tail measure and tail spectral process of regularly varying time series

Clément Dombry|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、抽象的枠組みにおいて、正則変動する時間系列の尾測度とスペクトル尾過程の間の一対一対応を確立し、任意のシフト不変かつ同次的測度がポアソン点過程の構成によって、定常的かつ正則変動する時間系列の尾測度として実現可能であることを証明する。主な貢献は、これらの二つの対象の間の関係を厳密に特徴づけることであり、極値安定過程に対する結果を一般化し、確率的表現および最大インデックスを用いた時間変換公式の拡張を達成する。

ABSTRACT

The goal of this paper is an exhaustive investigation of the link between the tail measure of a regularly varying time series and its spectral tail process, independently introduced in Owada and Samorodnitsky (2012) and Basrak and Segers (2009). Our main result is to prove in an abstract framework that there is a one to one correspondance between these two objets, and given one of them to show that it is always possible to build a time series of which it will be the tail measure or the spectral tail process. For non negative time series, we recover results explicitly or implicitly known in the theory of max-stable processes.

研究の動機と目的

• 正則変動する時間系列の尾測度とスペクトル尾過程が一対一対応にあるかどうかという根本的問題に取り組む。
• 同次性およびシフト不変性に注目した、抽象的完備分離的距離空間上の尾測度の一般枠組みを提供する。
• 尾測度の散逸的および最大インデックス表現の存在を特徴づけ、極値インデックスの概念を拡張する。
• 与えられたシフト不変かつ同次の尾測度から、ポアソン点過程を用いて定常的かつ正則変動する時間系列を構成する。
• 時間変換公式を一般抽象的設定に拡張し、確率的表現を介してスペクトル尾過程と関連付ける。

提案手法

• 測度論的道具のみを用いて、列空間上の同次的かつシフト不変な測度として尾測度を定義し、確率的漸近的議論を一切用いない。
• 時間変換公式の一般化として「傾きシフト公式」を導入し、スペクトル尾過程と尾測度の確率的表現を結びつける。
• 定理2.9を用いて、シフト不変な尾測度、その確率的表現、およびスペクトル尾過程の間の一対一対応を確立する。
• 抽象的距離空間上でのポアソン点過程のM0収束および正則変動性を用いて、与えられた尾測度から時間系列を構成する。
• 収束の理論（Kallenberg, 2017）および正則変動の理論（Hult and Lindskog, 2006）を適用し、分布収束を保証する。
• 最大インデックスを極値インデックスの一般化として定義し、構成された時間系列の極値インデックスと一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則変動する時間系列の尾測度とスペクトル尾過程の間に一対一対応があるか？
• RQ2 任意の列空間上でのシフト不変かつ同次の測度が、定常的かつ正則変動する時間系列の尾測度として実現可能か？
• RQ3 抽象的設定において、尾測度のシフト不変性からスペクトル尾過程の時間変換公式が導かれるか？
• RQ4 尾測度の散逸的表現が存在する条件は何か？また、混合移動平均表現とどのように関連するか？
• RQ5 尾測度の最大インデックスが、対応する時間系列の極値インデックスとして解釈可能か？

主な発見

• 本稿は、定理2.9において、シフト不変かつ同次の尾測度、その確率的表現、およびスペクトル尾過程の間の一対一対応を証明し、完全な双対性を確立する。
• 任意の指数α > 0を有するシフト不変かつ同次の測度νは、抽象的距離空間上でのポアソン点過程を用いた構成により、定常的かつ正則変動する時間系列の尾測度として実現可能である。
• スペクトル尾過程の時間変換公式は、尾測度のシフト不変性の直接的帰結であることが示され、極値安定過程に対する既知の結果を一般化する。
• 極値インデックスの一般化として導入された最大インデックスは、構成された時間系列の極値インデックスと一致し、尾依存性の新たな特徴づけを提供する。
• 尾測度の散逸的表現が存在するのは、測度がポアソンクラスタ過程による表現を許容する場合に限る。これは、極値安定過程の混合移動平均構成と関連する。
• ポアソン点過程のラプラス関数の収束を用いて、経験的測度の弱収束を証明し、構成の妥当性を保証する。