[論文レビュー] Tate Trees for Elliptic Fibrations with Rank one Mordell-Weil group

Moritz Küntzler, Sakura Schäfer‐Nameki|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、Mordell-Weil群のランクが1の楕円的ファイブレーションに対してTateツリーを構築し、Tateのアルゴリズムを、ゼロ節以外に1つの追加の有理的節を持つ場合に拡張して特異ファイバーを分類する。Canonicalおよび非canonical Tate形式を導入し、特に$I_n$および$I_n^*$型に対して、従来知られていたものよりも豊かなcodimension twoの物質内容を明らかにした。$SU(5) \times U(1)$モデルの明示的構成において、非canonicalな強化が新たな物質スペクトルを支持することを示した。

ABSTRACT

U(1) symmetries play a central role in constructing phenomenologically viable F-theory compactifications that realize Grand Unified Theories (GUTs). In F-theory, gauge symmetries with abelian gauge factors are modeled by singular elliptic fibrations with additional rational sections, i.e. a non-trivial Mordell-Weil rank. To determine the full scope of possible low energy theories with abelian gauge factors, which allow for an F-theory realization, it is central to obtain a comprehensive list of all singular elliptic fibrations with extra sections. We answer this question for the case of one abelian factor by applying Tate's algorithm to the elliptic fiber realized as a quartic in the weighted projective space P^{(1,1,2)}, which guarantees, in addition to the zero section, the existence of an additional rational section. The algorithm gives rise to a tree-like enhancement structure, where each fiber is characterized by a Kodaira fiber type, that governs the non-abelian gauge factor, and the separation of the two sections. We determine Tate-like forms for elliptic fibrations with one extra section for all Kodaira fiber types. In addition to standard Tate forms that are determined by the vanishing order of the coefficient sections in the quartic (so-called canonical models),the algorithm also gives rise to fibrations that require non-trivial relations among the coefficient sections. Such non-canonical models have phenomenologically interesting properties, as they allow for a richer charged matter content, and thus codimension two fiber structure, than the canonical models that have been considered thus far in the literature. As an application we determine the complete set of codimension one fibers types, matter spectra, both canonical and non-canonical, for SU(5) x U(1) models.

研究の動機と目的

• 追加の有理的節（すなわち、Mordell-Weil群のランクが1）を持つすべての特異な楕円的ファイブレーションを、拡張されたTateアルゴリズムを用いて体系的に分類すること。
• F理論コンpactificationの文脈において、特に$I_n$および$I_n^*$型に対して、すべてのKodairaファイバー型について、canonicalおよび非canonical Tate形式を特定・構成すること。
• $SU(5) \times U(1)$GUTモデルの、codimension oneファイバー型および物質スペクトルの完全な集合を、canonicalおよび非canonicalモデルを含めて同定すること。
• Tateのアルゴリズムにおいて、高次の$I_n$ファイバーに対して座標変換がwell-definedでない問題を、係数セクション間の非自明な関係の導入により解決すること。
• アーベルゲージ因子を有する、実験的・素粒子理論的に妥当なF理論モデルの包括的フレームワークを提供すること、特に、より豊かな荷電物質内容を支持するモデルを対象とする。

提案手法

• 楕円的ファイブレーションを$\mathbb{P}^{(1,1,2)}$における四次式として実現することで、ゼロ節に加え有理的節が存在することを保証し、Tateのアルゴリズムを適用する。
• 各ノードがKodairaファイバー型に対応するツリー構造「Tateツリー」を導出し、ゼロ節と追加節の分離が分岐構造に符号化されることを示す。
• 係数セクションの零点の順序のみで定義されるcanonicalモデルと、係数間に非自明な関係を要するnon-canonicalモデルを区別し、より複雑な特異ファイバー幾何を捉える。
• 重み付き射影空間$\mathbb{P}^{(1,2,3)}$におけるTateに類似た標準形を、$I_n$、$I_n^*$およびその非canonical版について明示的に構成する。
• ブ low-up の逐次的列を用いた特異点の解消を行い、対応するゲージ代数に対応するDynkin図（例：$A_n$、$C_n$）を正しく再現する除数の順序を確立する。
• スペクトルカバー技術およびCartan除集合方程式を用いて、特異ファイバーの既約成分とその交差構造を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円的ファイブレーションにおいて、追加の有理的節（すなわち、ランク1のMordell-Weil群）を持つ場合に可能なすべての特異ファイバー型は何か？ そして、標準Tate形式にどのように一般化されるか？
• RQ2 非canonical Tate形式（係数セクション間の非自明な関係によって定義される）は、Tateのアルゴリズムの文脈でどのように生じるのか？ そして、F理論における物理的意義は何か？
• RQ3 F理論における$SU(5) \times U(1)$モデルの、codimension oneファイバー型および物質スペクトルの完全な集合は何か？ これには、canonicalおよびnon-canonicalファイブレーションを含む。
• RQ4 非canonicalモデルは、canonicalモデルと比較して、より豊かなcodimension twoファイバー構造および強化された物質表現をどのようにもたらすか？
• RQ5 追加節を持つ非分割$I_n$および$I_n^*$ファイバーの解消構造は何か？ そして、それが正しいゲージ代数のDynkin図（$A_n$または$C_n$のアフィン版）をどのように再現するか？

主な発見

• 本稿は、追加の有理的節を持つすべてのKodairaファイバー型（$I_n$、$I_n^*$）について、canonicalおよびnon-canonicalバージョンを含めた明示的なTateに類似た標準形を構築した。
• 係数セクションが非自明な代数的関係を満たす場合に非canonicalモデルが生じる。これは、$n \geq 6$の$I_n$ファイバーおよび特定のモノドロミー配置において必要不可欠である。
• $I_5$に対して、canonical $I_4$とnon-canonical $I_4$の強化からそれぞれ生じる2つの異なるnon-canonical形式—$I_{5,nc}^{(0||1)}$および$I_{5,nc}^{(0|1)}$—を同定した。
• 非canonical $I_5$モデルは、標準的な$SU(5)$の$5 + \overline{5}$を超える追加の表現を含む、より豊かなcodimension two物質内容を支持する。
• 追加節を持つ非分割$I_n$ファイバーの解消により、アフィン$A_n$または$C_n$のDynkin図が正しく再現される除数の順序が得られ、正しいゲージ代数構造が確認された。
• $I_{11}$に対して、canonical $I_{11}$モデルが、低次の$I_n$ファイバーの非canonicalな強化を通じて得られることを示した。これは、高ランクの場合にcanonical形式が一意でないことを示している。