[논문 리뷰] Tensor network decompositions for absolutely maximally entangled states

Balázs Pozsgay, Ian M. Wanless|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 14.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science참고 문헌 50인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 차원 D ≥ 5 및 D ≥ 7일 때 각각 6 및 8 qudit를 가진 절대적으로 최대 얽힌(AME) 상태를 구성하기 위해 작은 대칭 4다리 텐서를 사용한 텐서 네트워크 분해를 제시한다. 이는 각각 3개와 6개의 이점 단위(unitary)만으로도 가능하다는 것을 보여준다. 주요 기여는 완전한 텐서를 더 작은 물리적으로 실현 가능한 구성 요소로 인수분해하는 체계적인 방법을 제공함으로써, 이러한 높은 얽힘 상태의 효율적인 양자 회로 구현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Absolutely maximally entangled (AME) states of $k$ qudits (also known as perfect tensors) are quantum states that have maximal entanglement for all possible bipartitions of the sites/parties. We consider the problem of whether such states can be decomposed into a tensor network with a small number of tensors, such that all physical and all auxiliary spaces have the same dimension $D$. We find that certain AME states with $k=6$ can be decomposed into a network with only three 4-leg tensors; we provide concrete solutions for local dimension $D=5$ and higher. Our result implies that certain AME states with six parties can be created with only three two-site unitaries from a product state of three Bell pairs, or equivalently, with six two-site unitaries acting on a product state on six qudits. We also consider the problem for $k=8$, where we find similar tensor network decompositions with six 4-leg tensors.

연구 동기 및 목표

• 절대적으로 최대 얽힌(AME) 상태가 작은 수의 대칭 4다리 텐서로 이루어진 텐서 네트워크로 분해될 수 있는지 조사하는 것.
• 표준 그래프 상태 구성 방식에 비해 회로 깊이를 줄이는 데 초점을 맞춘, 소수의 이점 단위 연산만을 사용하여 AME 상태를 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 완전한 텐서를 더 작은 물리적으로 실현 가능한 구성 요소로 분해함으로써, 완전한 텐서의 구조적 성질을 탐구하는 것.
• 특히 k=6 및 k=8 qudit 시스템에 대해 이러한 분해가 가능한 최소 국소 차원 D를 결정하는 것.
• 기본적인 다다리 텐서가 더 단순한 빌딩 블록으로 분해될 수 있음을 보여줌으로써, 히알로그래픽 양자 오류 정정 코드에 대한 이해를 기여하는 것.

제안 방법

• 저자들은 유한체 위에서 선형 대수적 구성 방법을 사용하여 완전한 텐서를 나타내는 초정규 행렬(superregular matrices)을 생성한다.
• 카우치 행렬 기반의 인수분해 체계를 적용하여 k다리 완전한 텐서를 4다리 텐서의 네트워크로 분해한다.
• 원래 텐서를 각각 이점 단위 상호작용에 해당하는 더 작은 텐서들의 수축(contraction)으로 표현함으로써 분해를 달성한다.
• 전체 텐서 G가 텐서 수축을 통해 재구성될 수 있도록, 가역적인 2×2 행렬 A^(ij)의 존재에 의존한다.
• GF(5), GF(8), GF(11)에서의 명시적 예시를 통해 검증되었으며, 모든 행렬의 소수(minor)가 0이 아니므로 완전한 얽힘을 보장한다.
• 이 접근법은 본질적으로 비확률적이며, 큰 D에 대해 선형 사상에 의해 생성된 거의 모든 완전한 텐서가 인수분해 가능하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D ≥ 5일 때, k=6 qudit를 가진 절대적으로 최대 얽힌 상태가 D ≥ 5일 때 3개의 4다리 텐서로만 이루어진 텐서 네트워크로 분해될 수 있는가?
• RQ2 k=8 qudit를 가진 AME 상태는 유사하게 6개의 4다리 텐서로 분해될 수 있으며, 이러한 분해가 성립하는 최소 D는 얼마인가?
• RQ3 주어진 AME 상태를 준비하기 위해 필요한 최소한의 이점 단위 연산 수는 얼마이며, 이는 표준 그래프 상태 구성 방식과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ4 완전한 텐서가 더 작은 대칭 텐서로 인수분해될 수 있는 조건은 국소 차원 D와 체의 구조에 대해 어떤가?
• RQ5 완전한 텐서 또는 평면적 최대 얽힌 상태를 더 작은 단위 상호작용 네트워크로 분해하는 일반 이론은 존재하는가?

주요 결과

• k=6 qudit에 대해, D ≥ 5일 때 3개의 4다리 텐서만으로 AME 상태를 구성할 수 있으며, 이는 단지 6개의 이점 단위 연산이 제품 상태에 작용하는 것으로 충분하다.
• k=8 qudit에 대해, D ≥ 7일 때 6개의 4다리 텐서로 분해가 가능하며, 이는 12개의 이점 게이트로 구성된 양자 회로로 충분하다는 것을 의미한다.
• GF(5), GF(8), GF(11)에서의 명시적 구성이 제공되었으며, 결과 행렬의 모든 소수(minor)가 0이 아니므로 완전한 얽힘을 확인할 수 있다.
• 고정된 k와 큰 D에 대해, 무작위로 선택된 완전한 텐서가 인수분해 가능할 확률이 1에 수렴한다는 것이 밝혀졌다.
• 큐비트 기반 AME 상태(D=2)는 이와 같은 방식으로 분해될 가능성이 낮으며, D=2일 때 완전한 4다리 텐서가 존재하지 않기 때문이다.
• 저자들은 D=2,3,4인 AME 상태가 이 틀 안에서 분해 불가능할 수 있다고 추측하며, 이는 높은 D에서 관찰된 인수분해 가능성과 대비된다.