[論文レビュー] The Calderon problem in transversally anisotropic geometries

David Dos Santos Ferreira, Yaroslav Kurylev+2 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、単純性を仮定しない横方向多様体をもつ、横方向に異方的な幾何構造へ、非等方的 Calderón 問題を拡張する。ガウス型ビーム準モードを用いた複素幾何学的オプティクス解の構築により、境界測定値が未知係数の混合フーリエ変換／減衰付き地図線形射影変換を一意に特定することを証明し、横方向多様体上の地図線形射影変換が単射である限り、係数の同定が一意に成立することを示す。無限大の円筒の場合、横方向計量は境界データから一意に回復可能である。

ABSTRACT

We consider the anisotropic Calderón problem of recovering a conductivity matrix or a Riemannian metric from electrical boundary measurements in three and higher dimensions. In the earlier work [8], it was shown that a metric in a fixed conformal class is uniquely determined by boundary measurements under two conditions: (1) the metric is conformally transversally anisotropic (CTA), and (2) the transversal manifold is simple. In this paper we will consider geometries satisfying (1) but not (2). The first main result states that the boundary measurements uniquely determine a mixed Fourier transform / attenuated geodesic ray transform (or integral against a more general semiclassical limit measure) of an unknown coefficient. In particular, one obtains uniqueness results whenever the geodesic ray transform on the transversal manifold is injective. The second result shows that the boundary measurements in an infinite cylinder uniquely determine the transversal metric. The first result is proved by using complex geometrical optics solutions involving Gaussian beam quasimodes, and the second result follows from a connection between the Calderón problem and Gel’fand’s inverse problem for the wave equation.

研究の動機と目的

• 横方向に単純でない場合でも、共形的横方向異方的（CTA）幾何構造に非等方的 Calderón 問題を拡張すること。
• 横方向多様体が単純性条件を満たさない場合でも、境界測定値から横方向異方的リーマン多様体における係数を同定する一意性結果を確立すること。
• 無限大の円筒の文脈において、Calderón 問題と波動方程式の Gel’fand の逆問題を結びつけること。
• 境界測定値が未知係数の混合フーリエ変換／減衰付き地図線形射影変換を一意に決定することを示すこと。

提案手法

• 横方向異方的構造に適合したガウス型ビーム準モードを用いた複素幾何学的オプティクス解の構築。
• 半古典的極限における解の漸近的挙動の分析により、未知係数に関する情報を抽出すること。
• 混合変換を介して逆問題を横方向多様体上の地図線形射影変換の単射性に還元すること。
• 減衰付き線形射影変換と境界測定値との関係を扱うために、微局所解析および振動積分技法を用いること。
• 無限大の円筒設定において、Calderón 問題と波動方程式の Gel’fand の逆問題との間の関係を明確にすること。
• 停留位相法およびパラメトリクス構成を用いて、境界付近における解の挙動を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横方向多様体が単純でない場合、横方向に異方的である幾何構造において非等方的 Calderón 問題が解けるか？
• RQ2 CTA 幾何構造において、境界測定値が未知係数を一意に決定する条件は何か？
• RQ3 横方向多様体上の地図線形射影変換が係数の一意性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 無限大の円筒幾何構造において、Calderón 問題は波動方程式の Gel’fand の逆問題とどのように関係するか？
• RQ5 ガウス型ビーム準モードを用いた複素幾何学的オプティクス解は、境界データから係数に関する情報を回復するために利用可能か？

主な発見

• 横方向に異方的な幾何構造において、境界測定値は未知係数の混合フーリエ変換／減衰付き地図線形射影変換を一意に特定する。
• 横方向多様体上の地図線形射影変換が単射である限り、係数の同定が一意に成立する。
• 無限大の円筒の場合、横方向計量は境界測定値から一意に回復可能である。
• 本手法は、ガウス型ビーム準モードから構築された複素幾何学的オプティクス解に依存しており、半古典的極限における漸近解析を可能にする。
• 円筒設定において、Calderón 問題と波動方程式の Gel’fand の逆問題との間の関係が厳密に確立された。
• 従来の一意性結果を一般化し、横方向多様体が単純であることの要件を排除した。