[论文解读] The Chow groups and the motive of the Hilbert scheme of points on a surface

Mark Andrea de Cataldo, Luca Migliorini|ArXiv.org|May 24, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文计算了在任意域上光滑代数曲面上n个点的Hilbert概形的Chow动机与有理系数Chow群。通过Gysin形式化和与n的分拆相关的对应关系，作者建立了Hilbert概形的动机与对称幂乘积的动机的直和之间的同构，后者经由Tate扭转和对应于分拆长度的次数移位。

ABSTRACT

We compute the Chow motive and the Chow groups with rational coefficients of the Hilbert scheme of points on a smooth algebraic surface

研究动机与目标

• 确定在任意域上光滑曲面$X$上n个点的Hilbert概形$X^{[n]}$的有理系数Chow动机。
• 通过将其与$X$的对称幂的Chow群关联，理解$X^{[n]}$的Chow群的加法结构。
• 建立$X^{[n]}$的动机分解，统一分解定理与混合Hodge结构中的Tate扭转。
• 构造一个生成函数，以分拆和对称幂的形式表达$X^{[n]}$的动机结构。

提出的方法

• 作者使用Fulton-MacPherson的Gysin形式化，为每个分拆$\nu \in P(n)$定义了精细对应关系$\hat{\Gamma}^\nu$。
• 他们构造了一个在Chow群之间的态射$\hat{\Gamma}_*$，并通过注入性与满射性结果（推论5.1.5与5.3.2）证明其为同构。
• 关键步骤在于证明与每个层对应的投影算子$\Delta_\nu$彼此正交，从而实现动机的直和分解。
• Hilbert概形的动机被识别为动机$M(X^{(\nu)})(n - l(\nu))[2n - 2l(\nu)]$的直和，其中$X^{(\nu)}$是对应于$\nu$的对称幂的乘积。
• 该结果被提升至Voevodsky的动机范畴，得到在$DM_{h}(k)_\mathbb{Q}$中的同构。
• 推导出动机结构的生成函数，将形式和$\sum_{n=0}^\infty X^{[n]}(n)[2n] q^n$表达为对所有$m \geq 1$的乘积$1/(1 - X_m(1)[2] q^m)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用曲面$X$的对称幂来描述Hilbert概形$X^{[n]}$的Chow动机？
• RQ2 如何精确描述$X^{[n]}$的Chow群与$X$的对称幂乘积的Chow群之间的关系？
• RQ3 分解定理与混合Hodge结构中的Tate扭转如何与$X^{[n]}$的动机结构相关联？
• RQ4 能否构造一个生成函数，以编码所有$n$的$X^{[n]}$的动机结构？

主要发现

• 有理系数下，$X^{[n]}$的Chow动机同构于所有分拆$\nu \in P(n)$的动机$M(X^{(\nu)})(n - l(\nu))$的直和，其中$X^{(\nu)}$是对应于$\nu$的对称幂的乘积。
• 该同构通过对应关系$\hat{\Gamma}^\nu$实现，其在Chow群上诱导同构，其注入性与满射性通过精细Gysin形式化建立。
• 在Voevodsky范畴$DM_{h}(k)_\mathbb{Q}$中，$X^{[n]}$的动机同构于$\bigoplus_{\nu \in P(n)} M(X^{(\nu)})(l(\nu))[2l(\nu)]$，经对偶Tate扭转与移位后。
• 动机结构的生成函数为$\sum_{n=0}^\infty X^{[n]}(n)[2n] q^n = \prod_{m=1}^\infty \frac{1}{1 - X_m(1)[2] q^m}$，编码了基于分拆的分解。
• 该结果通过相同的对应关系框架，提供了Göttsche公式关于$X^{[n]}$的贝蒂数的循环理论证明。
• 该分解统一了分解定理中的移位与混合Hodge结构中$X^{[n]}$的Tate扭转。