[論文レビュー] The co-universal C*-algebra of a row-finite graph

Aidan Sims|ArXiv.org|Sep 13, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、行フルの有向グラフ $E$ に対して、共普遍的性質によって定義される共普遍的 C*-代数 $C^{*}_{\text{min}}(E)$ を導入する。任意の C*-代数が、すべての頂点射影が非ゼロである Toeplitz-Cuntz-Krieger $E$-ファミリーによって生成される場合、その代数は $C^{*}_{\text{min}}(E)$ に標準的な全射をもつ。主な結果は、$E$ のすべてのループが入り口を持つとき、$C^{*}_{\text{min}}(E)$ は Cuntz-Krieger 代数 $C^{*}(E)$ に同型であり、そうでない場合は $C^{*}(E)$ の真の商である。また、特定の経路の集合に関連する射影によって生成される可換 C*-部分代数への忠実な条件付き期待値が存在する。

ABSTRACT

Let E be a row-finite directed graph. We prove that there exists a C*-algebra C*_{min}(E) with the following co-universal property: given any C*-algebra B generated by a Toeplitz-Cuntz-Krieger E-family in which all the vertex projections are nonzero, there is a canonical homomorphism from B onto C*_{min}(E). We also identify when a homomorphism from B to C*_{min}(E) obtained from the co-universal property is injective. When every loop in E has an entrance, C*_{min}(E) coincides with the graph C*-algebra C*(E), but in general, C*_{min}(E) is a quotient of C*(E). We investigate the properties of C*_{min}(E) with emphasis on the utility of co-universality as the defining property of the algebra.

研究の動機と目的

• 行フルの有向グラフに対する共普遍的 C*-代数を定義し、その存在を確立すること。これは、すべての頂点射影が非ゼロである Toeplitz-Cuntz-Krieger ファミリーによって生成される C*-代数の普遍的性質を捉えるものである。
• 一般のこのような C*-代数から $C^{*}_{\text{min}}(E)$ への標準的ホモオモルフィズムが単射である条件を同定すること。
• $C^{*}_{\text{min}}(E)$ が標準的グラフ C*-代数 $C^{*}(E)$ の商として特定されることを示し、この商が自明（すなわち $C^{*}_{\text{min}}(E) \cong C^{*}(E)$）である条件を特定すること。
• ヒルベルト空間 $\ell^2(\Omega)$ 上の作用素代数としての $C^{*}_{\text{min}}(E)$ の明示的実現を与えること。ここで $\Omega$ は、無入口のサイクルの無限反復の初期部分としての初期部分でない経路の集合である。

提案手法

• 共普遍的性質を満たす、すべての頂点射影が非ゼロである Toeplitz-Cuntz-Krieger $E$-ファミリーによって生成される C*-代数 $C^{*}_{\text{min}}(E)$ を定義する。これは、別の C*-代数 $B$ において同様のファミリーがすべての頂点射影を非ゼロに持つ場合、$B \to C^{*}_{\text{min}}(E)$ が標準的な全射を誘導することを意味する。
• Hong と Szymański のグラフ C*-代数の原始的理想空間の記述を用いて、$C^{*}_{\text{min}}(E)$ の構造を解析し、その存在と一意性を証明する。
• 具体的な実現として、$\ell^2(E^{\leq\infty})$ 上の左正則表現の制限を、特定の $\ell^2(\Omega)$ への不変部分空間に制限することで、$C^{*}_{\text{min}}(E)$ を生成する C*-代数として構成する。ここで $\Omega$ は、無入口のサイクルの無限反復の初期部分でない経路の集合である。
• 無入口のサイクルの初期部分でない経路の集合を $W$ と定義し、$C^{*}_{\text{min}}(E)$ が $\alpha, \beta \in W$ で $s(\alpha) = s(\beta)$ を満たす $s^{m}_\alpha (s^{m}_\beta)^*$ の閉線形包として生成されることを示す。
• 標準的期待値を $\mathcal{B}(\ell^2(\Omega))$ に制限することで、$C^{*}_{\text{min}}(E)$ に忠実な条件付き期待値 $\Psi: C^{*}_{\text{min}}(E) \to D$ を構成する。ここで $D$ は射影 $s^{m}_\alpha (s^{m}_\alpha)^*$ によって生成される C*-代数である。
• $C^{*}_{\text{min}}(E)$ が $\ell^2(\Omega)$ 上の作用素 $P^\Omega_v$ と $S^\Omega_e$ によって生成される C*-代数に同型であることを証明する。これらは標準的な Cuntz-Krieger 演算子を $\Omega$ に制限したものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての頂点射影が非ゼロである Toeplitz-Cuntz-Krieger $E$-ファミリーに対して、任意のこのようなファミリーが標準的全射をもつような共普遍的 C*-代数が存在するか？
• RQ2 一般のこのようなファミリーによって生成される C*-代数から $C^{*}_{\text{min}}(E)$ への標準的ホモオモルフィズムが単射である条件は何か？
• RQ3 $C^{*}_{\text{min}}(E)$ が標準的グラフ C*-代数 $C^{*}(E)$ と一致するのはどのような場合か？
• RQ4 $C^{*}_{\text{min}}(E)$ の明示的構造は何か？また、ヒルベルト空間上での作用素代数としてどのように具体的に実現できるか？
• RQ5 無入口のサイクルの無限反復の初期部分でない経路の集合 $\Omega$ は、$C^{*}_{\text{min}}(E)$ の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の行フルの有向グラフ $E$ に対して、共普遍的 C*-代数 $C^{*}_{\text{min}}(E)$ が存在し、すべての頂点射影が非ゼロである Toeplitz-Cuntz-Krieger ファミリーによって生成される C*-代数が $C^{*}_{\text{min}}(E)$ に標準的全射をもつという普遍的性質によって特徴づけられる。
• C*-代数 $B$ がこのようなファミリーによって生成されるとき、$B$ から $C^{*}_{\text{min}}(E)$ への標準的ホモオモルフィズムが単射であるのは、$B$ のファミリーがすべての有限正の範囲を持つ頂点で Cuntz-Krieger の関係を満たすときである。
• すべてのループが入り口を持つとき、$C^{*}_{\text{min}}(E)$ は標準的グラフ C*-代数 $C^{*}(E)$ に同型であり、そうでない場合は $C^{*}(E)$ の真の商である。
• $C^{*}_{\text{min}}(E)$ は、無入口のサイクルの無限反復の初期部分でない経路の集合 $\Omega$ に対して、左正則表現の作用素を $\ell^2(\Omega)$ に制限したものの生成する C*-代数に同型である。
• $C^{*}_{\text{min}}(E)$ は、射影 $s^{m}_\alpha (s^{m}_\alpha)^*$ によって生成される可換 C*-部分代数 $D$ への忠実な条件付き期待値をもつ。期待値は $\Psi(s^{m}_\alpha (s^{m}_\beta)^*) = s^{m}_\alpha (s^{m}_\alpha)^*$（$\alpha = \beta$ のとき）、それ以外は 0 である。
• $C^{*}_{\text{min}}(E)$ は、無入口のサイクルの初期部分でない経路 $\alpha, \beta$ で $s(\alpha) = s(\beta)$ を満たすような $s^{m}_\alpha (s^{m}_\beta)^*$ の線形包によって生成される。