[论文解读] The conical Kähler-Ricci flow on Fano manifolds

Jiawei Liu, Xi Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用 27

一句话总结

该论文在具有光滑除子 $D$ 和沿 $D$ 的锥角 $2\pi\beta$ 的法诺流形上，建立了锥型凯勒-里奇流的长时间存在性与收敛性。通过用一列扭曲凯勒-里奇流逼近锥型流，并证明一致的佩雷尔曼型估计，作者表明：若存在锥型凯勒-爱因斯坦度量，则该流收敛至该度量，从而将此前关于标准凯勒-里奇流的结果推广至锥型情形。

ABSTRACT

In this paper, we study the long-term behavior of the conical Kähler-Ricci flow on Fano manifold $M$. First, based on our work of locally uniform regularity for the twisted Kähler-Ricci flows, we obtain a long-time solution to the conical Kähler-Ricci flow by limiting a sequence of these twisted flows. Second, we study the uniform Perelman's estimates of the twisted Kähler-Ricci flows. After that, we prove that the conical Kähler-Ricci flow must converge to a conical Kähler-Einstein metric if there exists one.

研究动机与目标

• 在具有除子 $D$ 和锥角 $2\pi\beta$ 的法诺流形上，建立锥型凯勒-里奇流的长期行为。
• 将标准凯勒-里奇流的收敛结果推广至具有沿除子奇异性的锥型情形。
• 证明当锥型凯勒-爱因斯坦度量存在时，锥型凯勒-里奇流收敛至该度量。
• 为扭曲凯勒-里奇流建立一致估计，以控制锥型流的逼近过程。

提出的方法

• 通过在扭曲类 $[\alpha] \neq 0$ 中固定一个闭的 $(1,1)$-形式 $\theta$，用一列光滑的扭曲凯勒-里奇流逼近锥型凯勒-里奇流。
• 利用扭曲凯勒-里奇流的局部一致正则性结果，通过极限过程构造锥型流的长时间解。
• 为扭曲流建立一致的佩雷尔曼型估计，包括标量曲率、里奇曲率及熵泛函的有界性。
• 利用 $\omega^* = \omega_0 + k\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}|s|^{2\beta}$ 构造一族模型锥型度量，并引入正则化截断函数 $\chi(\varepsilon^2 + |s|^2)$。
• 使用截断函数 $\phi_i$ 和归一化的测试函数 $u_i$ 进行爆破分析，通过无界直径导出矛盾，从而证明一致的直径控制。
• 利用 $\mathcal{W}_{\theta_\varepsilon}$-泛函并对其 $u_i^2$ 进行积分，导出熵界与矛盾，当 $C_i \to \infty$ 时，表明存在一致的直径界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有除子 $D$ 和锥角 $2\pi\beta$ 的法诺流形上，锥型凯勒-里奇流是否存在长时间解？
• RQ2 锥型凯勒-里奇流能否通过一列具有统一估计的扭曲凯勒-里奇流来逼近？
• RQ3 在何种条件下，锥型凯勒-里奇流收敛至锥型凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ4 在 $t \geq 1$ 时，流形的直径是否在锥型凯勒-里奇流下一致有界？

主要发现

• 在具有光滑除子 $D$ 和锥角 $2\pi\beta$ 的法诺流形上，锥型凯勒-里奇流存在长时间解，其为扭曲凯勒-里奇流的极限。
• 为扭曲凯勒-里奇流建立了统一的佩雷尔曼型估计，确保对曲率与熵的控制。
• 在锥型凯勒-里奇流下，流形的直径对所有 $t \geq 1$ 一致有界，该结论通过 $\mathcal{W}$-泛函与爆破分析导出矛盾而得证。
• 若在沿 $D$ 具有锥角 $2\pi\beta$ 的法诺流形上存在锥型凯勒-爱因斯坦度量，则锥型凯勒-里奇流在 $C^\infty$-拓扑下收敛至该度量。
• 该收敛结果将田刚与朱立雄关于标准凯勒-里奇流的经典结果推广至锥型情形。