[論文レビュー] The Constant Mean Curvature Einstein flow and the Bel-Robinson energy

Martín Reiris|ArXiv.org|May 21, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ベル＝ロビンソンエネルギーと空間的体積を用いて、コンpact 3次元多様体上の定常平均曲率（CMC）アインシュタイン流の内在的制御を確立する。$H^3 \times H^2$ 型の正規性における適切性を証明し、特にヤマベ指数が非正である多様体に対して、第一階のベル＝ロビンソンエネルギーのみに依存する長期的存続の基準を提示する。

ABSTRACT

We give an extensive treatment of the Constant Mean Curvature (CMC) Einstein flow from the point of view of the Bel-Robinson energies. The article, in particular, stresses on estimates showing how the Bel-Robinson energies and the volume of the evolving states control intrinsically the flow along evolution. The treatment is for flows over compact three-manifolds of arbitrary topological type, although the form of the estimates may vary depending on the Yamabe invariant of the manifold. We end up showing well posedness of the CMC Einstein flow with H^{3} x H^{2} regularity, and proving a criteria for a flow to be a long-time flow on manifolds with non-positive Yamabe invariant in terms only of the first order Bel-Robinson energy.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における CMC ゲージの内在的取り扱いを、ベル＝ロビンソンエネルギーと空間的体積のみを用いて行う。
• 幾何的状態 $(g,K)$ の発展に伴う内在的および楕円型推移の制御を確立する。
• 任意のトポロジーを有するコンパクト 3 次元多様体上における $H^3 \times H^2$ 正規性を有する CMC アインシュタイン流の適切性を証明する。
• 特にヤマベ指数が非正である多様体に対して、第一階のベル＝ロビンソンエネルギーにのみ依存する CMC 流の長期的存続の十分条件を導出する。
• Weyl フィールドおよびベル＝ロビンソンエネルギーの枠組みに統合・拡張することで、従来の安定性および初期値形式に関する結果を統合する。

提案手法

• 時空曲率の制御変数として、Weyl テンソルおよびその共変微分のベル＝ロビンソンエネルギー $Q_j$ を用いる。
• ヤマベ指数に関連する幾何的制御として、縮小体積 $\mathcal{V} = \left(-\frac{k}{3}\right)^3 \text{Vol}_g(\Sigma)$ および体積半径 $\nu$ を導入する。
• Sobolev 型推移を適用し、$\|K\|_{H^1_g}^2$ が $\mathcal{V}$ および $Q_0$ によって制御されることを示し、定数はヤマベ指数に依存する。
• 点列 $p_i$ におけるスケーリング $\lambda_i = 1/\nu_{g(k_i)}(p_i)$ を用いて爆発挙動を解析し、背理法により非拡張可能性を証明する。
• 調和半径推移と $H^3 \times H^2$ での収束を用いて、曲率および体積制御下でのスケーリング初期データの極限を解析する。
• Friedman-Lemaître 方程式および宇宙論的解釈を適用し、縮小体積の単調性を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベル＝ロビンソンエネルギーと空間的体積のみを用いて、CMC アインシュタイン流をどのように内在的に制御できるか？
• RQ2 ベル＝ロビンソンエネルギー、縮小体積、および第二基本形式 $K$ のSobolevノルムとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 CMC 流がすべての時間にわたって拡張可能となる条件は何か、特にヤマベ指数が非正である多様体に対しては？
• RQ4 第一階のベル＝ロビンソンエネルギーのみが、CMC 流の長期的存続を決定づけることができるか？
• RQ5 内在的および楕円型推移による $K$ の依存関係は、基礎となる 3 次元多様体のヤマベ指数にどのように依存するか？

主な発見

• ヤマベ指数の符号に依存する $\|K\|_{H^1_g}^2$ の制御が得られる：$Y(\Sigma) > 0$ の場合、$\int_\Sigma 2|\nabla\hat{K}|^2 + |\hat{K}|^4 dv_g \leq C(|k|\mathcal{V} + Q_0)$ であり、$Y(\Sigma) \leq 0$ の場合、$\leq C(|k|({\mathcal{V}} - \mathcal{V}_{\text{inf}}) + Q_0)$ である。
• 関数 $\|(g,K)\|_{BR} = \frac{1}{\nu} + \mathcal{V} + \sum_{j=0}^{\bar{I}} Q_j$ は、$H^{\bar{I}+2}$-調和半径および $H^{\bar{I}+1}_g$-ノルムの $K$ を制御する。
• 任意のトポロジー型のコンパクト 3 次元多様体上における $H^3 \times H^2$ 正規性を有する CMC アインシュタイン流の適切性が確立された。
• ヤマベ指数が非正である多様体に対しては、第一階のベル＝ロビンソンエネルギー $\mathcal{E}_1$ が有界のままであれば、CMC 流はすべての時間にわたって存在する。
• 流が有限時間 $b$ を超えて拡張できない場合、点列に沿って体積半径 $\nu$ が 0 に近づき、スケーリングにより平坦なミンコフスキー極限に至る背理的状況が生じる。
• スケーリング初期データの極限は、$H^3 \times H^2$ で強く収束し、$K_\infty = 0$ を持つ平坦かつ完全な初期状態に収束する。これは、極限に閉じた測地線ループが存在しないことを示し、元の流に閉曲線が存在することと矛盾する。