[論文レビュー] The Cramer-Wold theorem on quadratic surfaces and Heisenberg uniqueness pairs

Karlheinz Gröchenig, Philippe Jaming|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般位置にある2次超曲面と2つの超平面の和集合が、ℝᵈ においてヘイゼンベルク一意性対をなすことを確立している。これは、そのような超曲面上に台を持つ有界測度が、2つの一般の超平面でゼロとなるフーリエ変換によって一意に決定されることを示している。この結果は、古典的クラーメル＝ヴォルドの定理の新しい驚きの拡張を与え、測度を一意に特定するのに、古典的状況における稠密な射影集合よりも、2つの一般の超平面での射影だけで十分であることを示している。

ABSTRACT

Two measurable sets $S, \\Lambda \\subseteq \\mathcal{R}^d$ form a Heisenberg uniqueness pair, if every bounded measure $\\mu$ with support in S whose Fourier transform vanishes on {\\Lambda} must be zero. We show that a quadratic hypersurface and the union of two hyperplanes in general position form a Heisenberg uniqueness pair in $\\mathcal{R}^d$. As a corollary we obtain a new, surprising version of the classical Cram\\'er-Wold theorem: a bounded measure supported on a quadratic hypersurface is uniquely determined by its projections onto two generic hyperplanes (whereas an arbitrary measure requires the knowledge of a dense set of projections). We also give an application to the unique continuation of eigenfunctions of second-order PDEs with constant coefficients .

研究の動機と目的

• 2次超曲面に台を持つ有界測度が、そのフーリエ変換の零点集合によっていつ一意に決定されるかを調べること。
• 古典的クラーメル＝ヴォルドの定理を拡張し、有界測度が2次曲面上で一意に決定されるために、稠密な射影集合ではなく、2つの一般の超平面だけで十分であることを示すこと。
• ℝᵈ における2次超曲面と超平面の和集合を含むヘイゼンベルク一意性対を、群論的および調和解析的手法を用いて特徴づけること。
• コックスター群と反射対称性を通じて、超平面の幾何と表面測度のフーリエ変換の構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• 測度 μ ∈ ℳ(S) が集合 Λ でフーリエ変換が消える場合に、それが自明であるというヘイゼンベルク一意性対の概念を用いる。
• アフィン不変性の性質（Inv1 および Inv2）を適用し、標準形（原点を通る標準的2次超曲面および超平面）に問題を簡約する。
• 超平面における反射対称性と、直交反射によって生成されるコックスター群の作用を用いて、フーリエ変換の絶対値の不変性を分析する。
• 反射によって生成されるコックスター群が無限大であれば、超平面の群による軌道は稠密であり、フーリエ変換が1つの超平面で消えるならば、それが恒等的にゼロになることを示す。
• フーリエ変換が稠密な集合でゼロであり、連続であれば、それが至る所でゼロであるという原理を適用する。これにより、測度がゼロであることが示される。
• 測度の台とそのフーリエ変換の零点集合の双対性を活用し、対称性と稠密性の議論を用いて一意性の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≥ 2 において、2次超曲面 S と2つの超平面の和集合 Λ が、ヘイゼンベルク一意性対をなすための幾何的条件は何か？
• RQ2 古典的クラーメル＝ヴォルドの定理は、有界測度が2次曲面上で一意に決定されるために、稠密な射影集合ではなく、2つの一般の超平面での射影だけで十分であるように強化できるか？
• RQ3 超平面における反射によって生成されるコックスター群が、表面測度のフーリエ変換がゼロであっても測度がゼロでない状況を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 フーリエ変換の絶対値が反射に対して不変であるという性質は、測度の構造とその台の2次曲面上での性質とどのように関係するか？
• RQ5 高次元（d ≥ 3）において、有限コックスター群でも、原点を通る複数の超平面でフーリエ変換がゼロとなる非自明な測度が存在可能か？

主な発見

• ℝᵈ に含まれる2次超曲面 S と一般位置にある2つの超平面の和集合は、ヘイゼンベルク一意性対をなし、S に台を持つ任意の有界測度が、両方の超平面でフーリエ変換がゼロであれば、それがゼロでなければならないことを意味する。
• この結果は、クラーメル＝ヴォルドの定理の新しいより強い形を示しており、2次曲面上の有界測度は、稠密な射影集合を必要とせず、2つの一般の超平面への射影だけで一意に特定可能である。
• ヘイゼンベルク一意性対の性質が成り立つのは、超平面における反射によって生成されるコックスター群が無限大である場合に限り、群論的特徴づけが得られる。
• コックスター群が有限の場合、球面上に台を持つ非自明な測度を、反射対称性に関して不変に保ち、かつ超平面でフーリエ変換がゼロとなるように構成可能であり、このため一意性対の条件を満たさない。
• この結果は、ℝ² における円錐曲線に関する先行研究を高次元に一般化し、アフィン不変性により、球面、放物面、双曲面に対しても適用可能である。
• 無限大コックスター群における反射対称性と稠密な軌道を用いた証明技法は、対称な曲面上におけるヘイゼンベルク一意性対を統一的に分析するフレームワークを提供する。