[논문 리뷰] The Cup Product on Hochschild Cohomology for Localizations of Filtered Koszul Algebras

Cris Negron|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 02.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 필터링된 코즐 알제브라의 호크시ลด 호몰로지 위에 $A_\infty$ 구조—특히 컵 곱—를 계산하는 작은 미분가환대수(dg algebra)를 구성한다. 또한 이러한 대수의 오어 국소화의 호크시ลด 호몰로지가 이 dg 대수의 국소화를 통해 유도됨을 보이며, 헤이젠베르그 리 대수의 보편적 환의 경우에 대해 명시적인 계산이 가능함을 보여준다.

ABSTRACT

To any filtered algebra $A$ with Koszul associated graded algebra we associate a small dg algebra which calculates the $A_\infty$ structure on the Hochschild cohomology of $A$. In particular, it calculates the cup product on Hochschild cohomology. This dg algebra is, as an algebra, simply the tensor product of $A$ and the Koszul dual of its associated graded algebra. We then show that the Hochschild cohomology algebra of any Ore localization of $A$ can be calculated by a localization of the dg algebra associated to $A$. As an application we directly calculate the Hochschild cohomology algebra of the universal enveloping algebra of the Heisenberg Lie algebra.

연구 동기 및 목표

• 필터링된 코즐 대수에 대한 호크시ลด 호몰로지 위의 $A_\infty$ 구조를 포괄하는 계산 가능한 dg 대수 모델을 개발하는 것.
• 이 dg 대수 구조를 사용하여 호크시ลด 호몰로지의 컵 곱을 체계적으로 계산하는 방법을 제공하는 것.
• 이러한 대수의 오어 국소화에 대한 계산을 구성된 dg 대수의 국소화를 통해 확장하는 것.
• 이 프레임워크를 사용하여 헤이젠베르그 리 대수의 보편적 환의 전체 호크시ลด 호몰로지 대수를 계산하는 것.

제안 방법

• 필터링된 대수 $A$와 그 관련 대수의 코즐 쌍대의 텐서곱으로서 dg 대수를 구성한다.
• 이 텐서곱에 호크시ลด 호몰로지 위의 $A_\infty$ 구조를 코딩하는 미분을 부여한다.
• 얻어진 dg 대수를 사용하여 dg 대수의 호몰로지에서의 표준 컵 곱을 통해 호크시ลด 호몰로지의 컵 곱을 계산한다.
• 모든 오어 국소화 $S^{-1}A$에 대해, 호크시ลด 호몰로지 대수는 구성된 dg 대수의 국소화된 버전의 호몰로지와 동형임을 보인다.
• 필터링 및 코즐 설정에서 국소화 함자와의 호환성을 활용한다.
• 헤이젠베르그 리 대수의 보편적 환에 대해 이 프레임워크를 적용하여 그 호크시ลด 호몰로지 대수를 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 필터링된 코즐 대수에 대해 호크시ลด 호몰로지 위의 $A_\infty$ 구조—특히 컵 곱—는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 필터링된 코즐 대수의 호크시ลด 호몰로지와 그 오어 국소화의 호크시ลด 호몰로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 호크시ลด 호몰로지 위의 컵 곱 구조를 계산할 수 있는 작은, 계산 가능한 dg 대수 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ4 dg 대수 모델은 국소화에 대해 어떻게 행동하며, 국소화된 대수의 호몰로지를 계산하기 위해 국소화될 수 있는가?
• RQ5 헤이젠베르그 리 대수의 보편적 환의 명시적 호크시ลด 호몰로지 대수는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 필터링된 코즐 대수의 오어 국소화에 대해, 그 호크시ลด 호몰로지 대수는 구성된 dg 대수의 국소화된 버전의 호몰로지와 동형이다.
• 호크시ลด 호몰로지의 컵 곱은 $A$와 그 관련 대수의 코즐 쌍대의 텐서곱으로 구성된 dg 대수의 호몰로지에서의 표준 컵 곱을 통해 계산된다.
• dg 대수 모델은 작고 계산 가능하여 기존 방법으로는 실패하는 경우에도 명시적인 계산이 가능하다.
• 이 구조는 국소화와 호환되어 $A$의 호몰로지 데이터를 $S^{-1}A$로 이행할 수 있다.
• 이 방법을 통해 헤이젠베르그 리 대수의 보편적 환의 호크시ลด 호몰로지 대수를 명시적으로 계산할 수 있다.