[論文レビュー] The de Rham-Fargues-Fontaine cohomology

Arthur-César Le Bras, Alberto Vezzani|arXiv (Cornell University)|May 27, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、正の特性におけるペルフェクトイド空間上の剛体解析的多様体に対して、関手的である新しいコホロジー理論として、de Rham-Fargues-Fontaine コホロジーを導入する。相対的過収束 de Rham コホロジーと相対的 Fargues-Fontaine 曲線に沿ったモチビック引き戻しを組み合わせることで、滑らかでコンパクトな多様体、または底空間がペルフェクトイド体である場合には、そのコホロジーがベクトルバンドルの層を持つ完ぺき複体であるような、固体準連接層の複体を構成する。これにより、Scholzeの予想が証明される。

ABSTRACT

We show how to attach to any rigid analytic variety $V$ over a perfectoid space $P$ a rigid analytic motive over the Fargues-Fontaine curve $\mathcal{X}(P)$ functorially in $V$ and $P$. We combine this construction with the overconvergent relative de Rham cohomology to produce a complex of solid quasi-coherent sheaves over $\mathcal{X}(P)$, and we show that its cohomology groups are vector bundles if $V$ is smooth and proper over $P$ or if $V$ is quasi-compact and $P$ is a perfectoid field, thus proving and generalizing a conjecture of Scholze. The main ingredients of the proofs are explicit $\mathbb{B}^1$-homotopies, the motivic proper base change and the formalism of solid quasi-coherent sheaves.

研究の動機と目的

• 特徴量ゼロのアディック空間上での剛体解析的多様体に対して、関手的かつ B1-不変性を持つ相対的過収束 de Rham コホロジー理論を定義すること。
• ペルフェクトイド空間 P 上の剛体解析的モチーフから、相対的 Fargues-Fontaine 曲線 X(P) 上のモチーフへのモチビック引き戻し関手を構成すること。
• この引き戻しと de Rham コホロジーの合成が、滑らかでコンパクトな多様体、または底空間がペルフェクトイド体である場合に、ベクトルバンドルの層を持つ完ぺき複体をもたらすことを証明すること。
• Fargues-Fontaine の設定において、コホロジーの有限性に関する Scholze の予想を一般化し、証明すること。
• 剛体コホロジーのグローバル実現を、de Rham-Fargues-Fontaine 関手を用いて、モチービック六関手形式に整合させる。

提案手法

• 関手的性、エタール降下、B1-不変性を保証するため、剛体解析的モチーフの六関手形式の使用。
• モチービック連続性と明示的な剛体ホモトピーを用いて、Tate代数とペルフェクトイド体に還元すること。
• Fargues-Fontaine 曲線上のフロベニウス接合データを用いて、RigDA(P) から RigDA(X(P)) へのモノイダル関手 D の構成。
• de Rham-Fargues-Fontaine コホロジーを、dRFF_P = dRX(P) ∘ D として定義し、X(P) 上の固体準連接層値をとること。
• 固体準連接層の形式的構造と QCoh(S) 内の双対可能対象の特徴付けを活用して、有限性を証明すること。
• モチービックティルティング同値関係 RigDA(C) ≅ RigDA(C♯) を用いて、ペルフェクトイド体とその untilt 上のコホロジーを関連させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴量ゼロのアディック空間上での剛体解析的多様体に対して、関手的かつ B1-不変性を持つ相対的過収束 de Rham コホロジー理論を定義できるか？
• RQ2 ペルフェクトイド空間 P 上のモチービックコホロジーを、正の特性における相対的 Fargues-Fontaine 曲線 X(P) にどのように拡張できるか？
• RQ3 モチービック引き戻しと de Rham コホロジーの合成が、P 上の滑らかでコンパクトな多様体に対して、ベクトルバンドルの層を持つ完ぺき複体をもたらすか？
• RQ4 良い還元の場合に、この結果のコホロジー理論が剛体コホロジーおよびクリスタリンコホロジーと整合するか？
• RQ5 モチービックおよびホモトピー的技法を用いて、Fargues-Fontaine 曲線上でのコホロジーの有限性に関する Scholze の予想を証明できるか？

主な発見

• M が P 上の滑らかでコンパクトな多様体のモチーフであるとき、de Rham-Fargues-Fontaine コホロジー dRFF_P(M) は O_X(P)-加群の完ぺき複体であり、そのコホロジー層はベクトルバンドルである。
• P がペルフェクトイド体であるとき、任意のコンパクトモチーフ M に対して dRFF_P(M) はベクトルバンドルの層を持つ完ぺき複体である。
• この構成はエタール降下、B1-不変性、および K"unneth 公式を満たしており、そのモチービック性が裏付けられる。
• 任意の P の untilt P♯ に対して、P♯ → X(P) 沿いの dRFF_P(M) の引き戻しは、tilting モチーフ M♯ の過収束 de Rham コホロジーに同型である。
• 関手 RigFF_A は、合成 EA ∘ RΓrig_A によって剛体コホロジーと自然同型であり、この構成がペルフェクトイドアフィンイド上での極限において剛体コホロジーを実現することを示している。
• 理論は、X(Spa(A)) が空間として存在しない場合でも、A が Fp-代数であるような Spa(A) 上で剛体コホロジーのグローバルで幾何的な実現を提供する。