[논문 리뷰] The Detectability Lemma and Quantum Gap Amplification

Dorit Aharonov, Itai Arad외 2명|ArXiv.org|2008. 11. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소 해밀토니안의 기본 에너지와 위반된 제약 조건의 탐지 가능성 사이의 정량적 연결을 제공하는 양자 유사성인 가시성 레미마를 도입한다. 비가환 항이 존재하는 경우에도 성립하며, XY 분해를 통해 비가환 케이스를 가환 케이스로 환원함으로써, 확산자 기반 해밀토니안에 대한 양자 갭 확대 레미마를 증명한다. 이는 양자 복잡도 이론에서 고전적 랜덤 워크와 유사한 확률 증폭을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The quantum analogue of a constraint satisfaction problem is a sum of local Hamiltonians - each local Hamiltonian specifies a local constraint whose violation contributes to the energy of the given quantum state. Formalizing the intuitive connection between the ground (minimal) energy of the Hamiltonian and the minimum number of violated constraints is problematic, since the number of constraints being violated is not well defined when the terms in the Hamiltonian do not commute. The detectability lemma proved in this paper provides precisely such a quantitative connection. We apply the lemma to derive a quantum analogue of a basic primitive in classical complexity: amplification of probabilities by random walks on expander graphs. It holds under the restriction that the interaction graph of the local Hamiltonian is an expander. Our proofs are based on a novel structure imposed on the Hilbert space that we call the $XY$ decomposition, which enables a reduction from the quantum non-commuting case to the commuting case (where many classical arguments go through). The results may have several interesting implications. First, proving a quantum analogue to the PCP theorem is one of the most important challenges in quantum complexity theory. Our quantum gap amplification lemma may be viewed as the quantum analogue of the first of the three main steps in Dinur's PCP proof. Quantum gap amplification may also be related to spectral gap amplification, and in particular, to fault tolerance of adiabatic computation. Finally, the detectability lemma, and the $XY$ decomposition provide a handle on the structure of local Hamiltonians and their ground states.

연구 동기 및 목표

• 비가환 국소 해밀토니안에서 기본 에너지와 위반된 양자 제약 조건의 수 사이의 관계를 체계화하는 것.
• 해밀토니안 항의 비가환성으로 인해 발생하는 제약 조건 수의 정의에 대한 모호함을 해결하는 것.
• 확산자 그래프 위에서의 고전적 랜덤 워크에 기반한 양자 유사 갭 확대 기법을 개발하여 양자 제약 조건 만족 문제에 적용하는 것.
• 지역 해밀토니안의 기본 상태 및 스펙트럼 성질 분석을 위한 구조적 프레임워크를 제공하기 위해 XY 분해를 통한 방법을 수립하는 것.
• 양자 PCP 정리 도출과 어드바틱 양자 계산에서의 강인성 확보를 위한 진전을 지원하는 것.

제안 방법

• 기본 에너지가 0에서 일정 거리 떨어져 있을 경우, 상호작용하는 항들의 적어도 한 층에서 제약 위반의 비가중 평균 확률이 비가소한 수준 이상으로 탐지됨을 보장하는 가시성 레미마를 도입한다.
• 신규로 제안된 힐베르트 공간의 구조인 XY 분해를 사용하여 시스템을 가환 부분공간으로 분할함으로써, 비가환 케이스를 가환 케이스로 환원한다.
• 해밀토니안의 상호작용 그래프가 확산자 그래프일 경우에 한하여, 레미마를 적용하여 양자 갭 확대 결과를 도출한다.
• 확산자의 스펙트럼 갭 성질을 활용하여 랜덤 워크에서 상관관계의 감쇠를 제한함으로써, 만족되지 않은 제약 조건 확률의 증폭을 보장한다.
• 고유값 경계와 집중 부등식을 포함한 확률론적 및 스펙트럼 기법을 사용하여, 확산자 위에서의 t단계 랜덤 워크의 행동을 분석한다.
• 층 수 g, 워크 길이 t, 스펙트럼 갭 매개변수 λ를 포함한 부등식을 통해 증폭이 성립하는 충분조건을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 항을 가진 양자 시스템에서 제약 조건 위반의 의미 있고 정량적인 측정법을 정의할 수 있는가?
• RQ2 고전적 갭 확대와 유사하게, 양자 제약 조건 만족 문제에서 만족되지 않은 제약 조건의 탐지 확률을 증폭할 수 있는가?
• RQ3 국소 해밀토니안 항의 비가환성을 어떻게 극복하여 기본 상태의 스펙트럼 및 구조적 성질을 분석할 수 있는가?
• RQ4 확산자나 제한된 상호작용 차수와 같은 지역 해밀토니안의 구조적 성질이 양자 갭 확대를 가능하게 하는가?
• RQ5 가시성 레미마가 딘르의 고전적 증명을 모방하여 양자 PCP 정리의 기초 단계가 될 수 있는가?

주요 결과

• 상호작용 차수에 상한이 있고 기본 에너지 ε₀가 유한한 임의의 국소 해밀토니안에 대해, 기본 에너지가 0에서 일정 거리 떨어져 있을 경우, 상호작용하는 항들의 적어도 한 층에서 위반된 제약 조건을 탐지할 확률이 최소 Ω(ε₀) 이상이 되며, 이는 시스템 크기와 무관하다.
• 해밀토니안의 상호작용 그래프가 확산자일 경우, 양자 갭 확대 레미마가 성립하며, t단계 랜덤 워크를 통해 만족되지 않은 제약 조건의 확률을 증폭할 수 있고, 증폭 요소는 스펙트럼 갭에 대한 함수로 아래에서 유계이다.
• XY 분해는 힐베르트 공간의 구조적 분해를 제공하여 가환 부분공간을 분리함으로써, 비가환 문제를 가환 문제로 환원할 수 있도록 한다.
• 고정된 ε₀ > 0과 일정한 층 수 g에 대해, 어떤 층에서 ℓ개 이상의 위반을 탐지할 확률은 ℓ가 정규화된 기본 에너지의 일정한 비율 이하일 경우 ε₀에 대해 선형적으로 증가한다.
• 증폭 요소 F(x) = tx / (1 + tx + 2/(1−λ))는 初기 만족되지 않은 비율 x가 작을 경우, 스펙트럼 갭 λ에 대해 적절한 t를 선택하면 증폭된 비율이 0에서 멀리 떨어져 있음을 보장한다.
• 증폭을 위한 충분조건은 r > 3, g, k, θ를 포함하며, 부등식 (2g+1)log(r)/r + (4g + 2g²log(k))/r < log(1/θ)가 충족되면 충분히 큰 r에 대해 증폭이 보장된다.