[論文レビュー] The Donaldson-Thomas partition function of the banana manifold

Jim Bryan|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、『バナナ多様体』と呼ばれるコンpaktoなケーラー・ヤウ3次元多様体（アーベル曲面にパラメータをもつファイバー構造を持つ）のドナルドソン＝トーマスの分配関数を、ファイバー曲線類の3次元格子に制限して計算する。等長的技法とC²上のヒルベルトスキームの幾何学を用いて、テータ関数の比から得られる係数を含む閉形式の積分公式を導出し、Gromov-Wittenポテンシャルがエイゼンスタイン級数のスコループパ＝マウスの上昇写像を通じて、 genus 2 シーゲルモジュラー形式であることを示す。

ABSTRACT

A banana manifold is a compact Calabi-Yau threefold, fibered by Abelian surfaces, whose singular fibers have a singular locus given by a "banana configuration of curves". A basic example is given by $X_{ban}$, the blowup along the diagonal of the fibered product of a generic rational elliptic surface $S o \mathbb{P}^{1}$ with itself. In this paper we give a closed formula for the Donaldson-Thomas partition function of the banana manifold $X_{ban }$ restricted to the 3-dimensional lattice $Γ$ of curve classes supported in the fibers of $X_{ban} o \mathbb{P}^{1}$. It is given by \[ Z_Γ(X_{ban}) = \prod_{d_{1},d_{2},d_{3}\geq 0} \prod_{k} \left(1-p^{k}Q_{1}^{d_{1}}Q_{2}^{d_{2}}Q_{3}^{d_{3}} ight)^{-12c(||\mathbf{d} ||,k)} \] where $||\mathbf{d} || = 2d_{1}d_{2}+ 2d_{2}d_{3}+ 2d_{3}d_{1}-d_{1}^{2}-d_{2}^{2}-d_{3}^{2}$, and the coefficients $c(a,k)$ have a generating function given by an explicit ratio of theta functions. This formula has interesting properties and is closely realated to the equivariant elliptic genera of $\operatorname{Hilb} (\mathbb{C}^{2})$. In an appendix with S. Pietromonaco, it is shown that the corresponding genus $g$ Gromov-Witten potential $F_{g}$ is a genus 2 Siegel modular form of weight $2g-2$ for $g\geq 2$; namely it is the Skoruppa-Maass lift of a multiple of an Eisenstein series: $\frac{6|B_{2g}|}{g(2g-2)!} E_{2g}(τ)$.

研究の動機と目的

• ファイバー曲線類に制限されたバナナ多様体のドナルドソン＝トーマス分配関数を計算すること。
• テータ関数の比から得られる係数を含む閉形式の積分公式を、分配関数に対して導出すること。
• 分配関数とHilb(C²)の等長的楕円的位相の間の関係を確立すること。
• genus g のGromov-Wittenポテンシャルが、スコループパ＝マウスの上昇写像を通じて、重み2g−2のシーゲルモジュラー形式であることを示すこと。
• 明示的なGopakumar-Vafa不変量を計算し、それらのモジュラー構造を検証すること。

提案手法

• ファイブレーション Xban → P¹ におけるファイバーに支持される曲線類の3次元格子 Γ に制限して、ドナルドソン＝トーマス分配関数を計算する。
• GW/DT対応を用いて、DT分配関数とGromov-Wittenポテンシャルを関連付ける。
• スコループパ＝マウスの上昇写像を適用し、genus g のGromov-Wittenポテンシャル Fg が重み2g−2のシーゲルモジュラー形式であることを示す。
• 分配関数を、曲線次数 d₁,d₂,d₃ ≥ 0 および整数 k についての積として表す： ZΓ(Xban) = ∏(1 − pᵏQ₁^{d₁}Q₂^{d₂}Q₃^{d₃})^{−12c(||d||,k)} ここで ||d|| = 2d₁d₂ + 2d₂d₃ + 2d₃d₁ − d₁² − d₂² − d₃² である。
• 係数 c(a,k) の母関数をテータ関数の比として導出する。
• Hilb(C²)の楕円的位相の λ-展開を用い、GW/DT対応を通じてGopakumar-Vafa不変量と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバー曲線類に制限されたバナナ多様体のドナルドソン＝トーマス分配関数の閉形式は何か？
• RQ2 分配関数に現れる係数 c(a,k) は、モジュラー形式および Hilb(C²) の等長的楕円的位相とどのように関係しているか？
• RQ3 バナナ多様体のgenus g のGromov-Wittenポテンシャルはシーゲルモジュラー形式であるか？ もしそうなら、どの種類のものか？
• RQ4 バナナ多様体のGopakumar-Vafa不変量の構造は何か？ また、それらはモジュラー的または算術的パターンを示すか？
• RQ5 スコループパ＝マウスの上昇写像を用いて、DT分配関数からGromov-Wittenポテンシャルを回復できるか？

主な発見

• バナナ多様体のドナルドソン＝トーマス分配関数は、次のように積分形式で与えられる： ZΓ(Xban) = ∏(1 − pᵏQ₁^{d₁}Q₂^{d₂}Q₃^{d₃})^{−12c(||d||,k)} （d₁,d₂,d₃ ≥ 0 および k ∈ ℤ）。
• 係数 c(a,k) の母関数はテータ関数の比として与えられ、これにより分配関数が Hilb(C²) の等長的楕円的位相と関連づけられる。
• genus g のGromov-Wittenポテンシャル Fg は g ≥ 2 に対して重み2g−2のシーゲルモジュラー形式であり、具体的にはエイゼンスタイン級数 E₂g のスコループパ＝マウスの上昇写像である。
• エイゼンスタイン級数の係数は a_g = 6|B₂g| / (g(2g−2)! ) で与えられ、B₂g はベルヌーイ数である。
• Gopakumar-Vafa不変量 nₐ^g(Xban) は12で割り切れ、正規化された不変量 (1/12)nₐ^g は、g が小さい場合および a ≡ 0 または −1 mod 4 の場合に表として示されている。
• g > 1 の場合、完全なGromov-Wignerポテンシャル Fg は、オイラー特性に関連する定数項と、ポリログ形式および係数 c₂g−2(4nm − l²) を含む級数の和である。