[論文レビュー] The Donaldson-Thomas theory of $K3 imes E$ via the topological vertex

Jim Bryan|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、自己交叉数が $-2$ および $0$ の原始的曲線類における $K3 \times E$ の Donaldson-Thomas 分割関数を、モチーフ的およびトーリック手法とトポロジカル・バーテックスの組み合わせを用いて計算する。結果は Oberdieck-Pandharipande 予想の予測と一致し、それぞれ $F^{-2}\Delta^{-1}$ および $-24\wp\Delta^{-1}$ という形のメロモーフィックなヤコビ形式であることが確認され、この場合における予想に対する強い証拠が得られた。

ABSTRACT

Oberdieck and Pandharipande conjectured that the curve counting invariants of $S imes E$, the product of a $K3$ surface and an elliptic curve, is given by minus the reciprocal of the Igusa cusp form of weight 10. For a fixed primitive curve class in $S$ of square $2h-2$, their conjecture predicts that the corresponding partition functions are given by meromorphic Jacobi forms of weight $-10$ and index $h-1$. We calculate the partition functions for primitive classes of square -2 and of square 0. Our computation uses reduced Donaldson-Thomas invariants which are defined as the Behrend function weighted Euler characteristics of the quotient of the Hilbert scheme of curves in $S imes E$ by the action of $E$. Our technique is a mixture of motivic and toric methods (developed with Martijn Kool) which allows us to express the partition functions in terms of the topological vertex and subsequently in terms of Jacobi forms. We compute the partition functions for both Behrend function weighted Euler characteristics and for unweighted Euler characteristics. The results for the Behrend function weighted case depends on Conjecture 18 from https://arxiv.org/abs/1608.07369

研究の動機と目的

• 原始的曲線類の自己交叉数が $-2$ および $0$ の $K3 \times E$ における Donaldson-Thomas 分割関数を計算し、Oberdieck-Pandharipande 予想に対する証拠を提供すること。
• モチーフ的およびトーリック技法とトポロジカル・バーテックスを組み合わせた計算フレームワークを構築・適用し、Calabi-Yau 3次元多様体の不変量を計算すること。
• 得られた分割関数が、予想された重み $-10$、指数 $h-1$ のメロモーフィックヤコビ形式と一致することを検証すること。
• 削減された Donaldson-Thomas 不変量と安定ペア不変量との間の関係を、商ヒルベルトスキームを介して確立すること。
• 重み付きの場合における [5] の予想 18 を仮定して、局所的に単項式な Cohen-Macaulay 部分スキーム上での Behrend 関数の振る舞いを調査すること。

提案手法

• 計算は、$K3 \times E$ 内の曲線のヒルベルトスキームを楕円曲線 $E$ の作用で割ったものの、Behrend 関数による重み付きおよび重みなしのオイラー特性として定義される削減された Donaldson-Thomas 不変量を用いる。
• ヒルベルトスキームは曲線の幾何的台ごとに層別され、$E$-および $\mathbb{C}^*$-作用の固定点集合が解析され、問題が単項式イデアルへの還元がなされる。
• トポロジカル・バーテックスが単項式イデアルの数え上げに用いられ、分割関数の閉形式による計算が可能になる。
• この手法は、特異点の制御された台を持つ曲線を扱うために、トポロジカル・バーテックスの新しい恒等式および特異点の形式的局所構造に依存する。
• Behrend 関数重み付き不変量の計算では、[5] の予想 18 を仮定しており、これは単項式イデアル上での Behrend 関数の振る舞いを支配する。
• フレームワークは、特に $h=1$ の場合に、ヒルベルトスキーム内の垂直および対角的曲線成分を含めるように拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K3 \times E$ の原始的曲線類（自己交叉数 $-2$ および $0$）における削減された Donaldson-Thomas 不変量は、Oberdieck-Pandharipande 予想の予測と一致するか？
• RQ2 トポロジカル・バーテックスは、階層的・固定点還元戦略を用いて、$K3 \times E$ の分割関数を効果的に計算するために用いられるか？
• RQ3 自己交叉数 $-2$ の原始的曲線類を持つ $K3$ 表面をもつ $K3 \times E$ における分割関数の正確な形は何か？
• RQ4 商ヒルベルトスキームの Behrend 関数重み付きオイラー特性と、この文脈における安定ペア不変量との関係は何か？
• RQ5 非トーリック的特異点（例：カスプ）の寄与は、トポロジカル・バーテックス枠組みに体系的に組み込まれるか？

主な発見

• 自己交叉数 $-2$ の原始的曲線類における $K3 \times E$ の分割関数は、$F^{-2}\Delta^{-1}$ として計算され、ここで $F$ はヤコビシータ関数、$\Delta$ は判別式モジュラー形式である。
• 自己交叉数 $0$ の原始的曲線類では、分割関数は $-24\wp\Delta^{-1}$ である。ここで $\wp$ はワイエルシュトラスの $\wp$-関数である。
• 結果は Oberdieck-Pandharipande 予想の予測と一致し、分割関数が重み 10 のイグザ・カスプ形式の逆数である $-1/\chi_{10}$ であることが確認された。
• $h=0$ の場合、商ヒルベルトスキームの重みなしオイラー特性は $-\widehat{\mathsf{DT}}_0(X)$ であり、$h=1$ の場合、$-\widehat{\mathsf{DT}}_{1,\text{vert}}(X) + \widehat{\mathsf{DT}}_{1,\text{diag}}(X)$ である。
• Behrend 関数重み付き不変量の計算は、[5] の予想 18 に依存しており、これは局所的に単項式な Cohen-Macaulay 部分スキーム上での Behrend 関数の振る舞いを支配する。
• この手法は、トポロジカル・バーテックスによる単項式イデアルの数え上げにまで問題を還元でき、高 genus 曲線の数え上げにおけるトーリックおよびモチーフ的技法の強力さを示している。