[論文レビュー] The duality of computation under focus

Pierre-Louis Curien, Guillaume Munch-Maccagnoni|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、キューリエン＝エルベリンの句法学的キットを用いて、制御付きラムダ計算の抽象機械と古典的シークエント計算の間の深い関係を確立し、計算の双対性と証明探索の統一を図る。コンフラuentで焦点化された計算体系 L_foc と、パターンと逆パターンに基づく合成的体系 L_synth を導入し、LK に対して完全性を示し、可換なカット除去規則が明示的置換の伝播に対応することを示している。

ABSTRACT

We review the close relationship between abstract machines for (call-by-name or call-by-value) lambda-calculi (extended with Felleisen's C) and sequent calculus, reintroducing on the way Curien-Herbelin's syntactic kit expressing the duality of computation. We use this kit to provide a term language for a presentation of LK (with conjunction, disjunction, and negation), and to transcribe cut elimination as (non confluent) rewriting. A key slogan here, which may appear here in print for the first time, is that commutative cut elimination rules are explicit substitution propagation rules. We then describe the focalised proof search discipline (in the classical setting), and narrow down the language and the rewriting rules to a confluent calculus (a variant of the second author's focalising system L). We then define a game of patterns and counterpatterns, leading us to a fully focalised finitary syntax for a synthetic presentation of classical logic, that provides a quotient on (focalised) proofs, abstracting out the order of decomposition of negative connectives.

研究の動機と目的

• 計算の双対性（名前渡し対値渡し）を古典論理の証明理論的構造と統一すること。
• 抽象機械の状態とシークエント計算の規則（特にカット除去と可換規則）の正確な対応関係を形式化すること。
• 古典論理のカットフリーで焦点化された証明を捉えることができるコンフラuentで焦点化された計算体系 L_foc を開発すること。
• パターンと逆パターンに基づく合成的体系 L_synth を導入し、負の接続子の分解順序を抽象化すること。
• 標準的な LK に対して L_foc の完全性、および互いに L_synth と L_foc の完全性を証明すること。

提案手法

• キューリエン＝エルベリンの句法学的キットを用いて計算の双対性を表現し、型付き項と LK における証明木の間の一対一対応を可能にする。
• 非対称的な連言と選言の提示を用いた LK の項言語を導入し、焦点化を予期する。
• カット除去を非コンフラuentな書き換えとして記述し、可換カット規則が明示的置換の伝播規則に対応することを特定する。
• 焦点化の規則を適用して言語と書き換え規則を狭め、コンフラuentなシステムにすることで、ムンシュ＝マッカギャノの L_foc の変種を得る。
• パターンと逆パターンのゲームを定義し、負の接続子の分解順序を抽象化した合成的体系 L_synth を構築する。
• 明示的置換（t[v/x]）とその伝播規則を併用して、可換カット除去ステップをモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御付きラムダ計算の抽象機械を、シークエント計算と体系的に関係づける方法は何か？
• RQ2 可換カット除去規則と明示的置換の伝播との正確な対応関係は何か？
• RQ3 古典論理における証明探索の規則から、コンフラuentで焦点化された計算体系を導出可能か？
• RQ4 負の接続子の分解順序を抽象化することができる合成的接続子体系をどのように定義できるか？
• RQ5 焦点化された体系 L_foc と合成的体系 L_synth が、標準的な LK および互いに完全であるとは何か？

主な発見

• 本稿は、LK における可換カット除去規則が、項言語における明示的置換の伝播規則と等価であることを確立している。
• 焦点化された体系 L_foc はコンフラuentであり、その正規形は LK におけるカットフリーで焦点化された証明と正確に一致する。
• 合成的体系 L_synth は、負の接続子の分解順序を抽象化した焦点化証明の商構文を提供する。
• L_foc が LK に対して完全であることを証明した：すべての LK で証明可能なシークエントに対して、それに対応する L_foc 内の項が存在する。
• L_synth が L_foc に対して完全であることを確立した：L_foc 内のすべての項は、一意に L_synth 内の項に対応する。
• 体系 L_synth が、ギラールのルディックスとザイルバーガーの CU に類似した古典論理の合成的提示であることが示された。この体系は、パターンと逆パターンのゲームを用いて構築されている。