[論文レビュー] The dynamical Borel-Cantelli lemma and the waiting time problems

Stefano Galatolo, Dong Han Kim|ArXiv.org|Oct 6, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、測度保存力学系における動的Borel-Cantelli（BC）性質と待ち時間挙動の間の双方向的関係を確立する。もし系が減少する球の列に対してBC性質を満たすならば、典型点の待ち時間は球の測度と逆比例するスケーリングを示す。逆に、半径に制御された減衰条件が満たされれば、待ち時間挙動からBC性質が導かれる。主な貢献は、Axiom A写像や一般の区間交換写像といった非混合系において、待ち時間推定を用いてBC結果を導く一般枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We investigate the connection between the dynamical Borel-Cantelli and waiting time results. We prove that if a system has the dynamical Borel-Cantelli property, then the time needed to enter for the first time in a sequence of small balls scales as the inverse of the measure of the balls. Conversely if we know the waiting time behavior of a system we can prove that certain sequences of decreasing balls satisfies the Borel-Cantelli property. This allows to obtain Borel-Cantelli like results in systems like axiom A and generic interval exchanges.

研究の動機と目的

• 力学系における動的Borel-Cantelli性質と待ち時間挙動の関係を明確化すること。
• BC性質が、典型的な点において待ち時間τ ∼ 1/μ(B(y, r_n)) のような特定のスケーリングを示すことの証明。
• 待ち時間挙動がBC性質を示すための十分条件を確立すること、特に強い混合性を欠く系において。
• 従来の混合性の議論が失敗する非双曲的系、たとえばAxiom A微分同相写像や一般の区間交換写像にBC結果を拡張すること。
• 待ち時間推定と制御された半径の減衰を用いてBC列を導出する一般的手法を提供すること。

提案手法

• 文献[15]の結果を拡張し、待ち時間と集合の測度の間の一般不等式を証明し、BC性質のもとで等式にまでなることを示す。
• エルゴード的系では、集合の前像の上極限が測度0または全測度のいずれかであるという事実を用い、測度論的結論を得る。
• 点yにおける局所次元d_μ(y)の仮定のもとで、待ち時間スケーリングτ_B(y,r_n)(x) ∼ r_n^{-d_μ(y)} を適用する。
• 半径の制御された減衰条件：ある減少関数fに対してr_n ≥ f^{-1}(n) を導入し、待ち時間からBC性質への逆含みを実現する。
• Axiom A系にこの枠組みを適用する際、[16]で知られている待ち時間評価を用いて必要な減衰条件を検証する。
• 区間交換写像の算術的および幾何的性質、特に性質˜P (δ(n_k) ≥ C/n_k) を用い、r_n ≥ K/n となる列に対してBC結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的Borel-Cantelli性質は、典型点における待ち時間の特定のスケーリングを示すか？
• RQ2 待ち時間挙動を用いて、収縮する標的の列に対するBorel-Cantelli性質を導くことができるか？
• RQ3 半径の減衰率にどのような条件が満たされれば、待ち時間スケーリングからBC性質が導かれるか？
• RQ4 Axiom A写像や一般の区間交換写像のような非混合系においてBC結果を確立できるか？
• RQ5 測度の局所次元が待ち時間スケーリングおよびBC挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 系が減少する球の列{B(y, r_n)}に対して動的Borel-Cantelli性質を持つならば、ほとんどすべてのxに対して、待ち時間τ_{B(y,r_n)}(x) は lim_{n→∞} log τ_{B(y,r_n)}(x) / (-log μ(B(y,r_n))) = 1 を満たす。
• 逆に、ρ_n ↓ 0 となる列が存在し、τ_{B(y,ρ_n)}(x) < f(ρ_n) を満たす減少関数fが存在するならば、任意の減少列r_nについてr_n > f^{-1}(n) ならば、列{B(y, r_n)}はBorel-Cantelli性質を満たす。
• Axiom A系では、任意のyについて局所次元d_μ(y)が有限であれば、r_n ≥ n^{-1/(d_μ(y) - ε)} (ε > 0が十分小さい) となる列{B(y, r_n)}に対してBC性質が成り立つ。
• 典型的な区間交換写像（性質˜Pを有するもの）では、K > 0 で十分大きなnについて、r_n ≥ K/n となる列{B(y, r_n)}に対してBC性質が成り立つ。
• 滑らかな密度の仮定を待ち時間制御に置き換えることで、[6]の既存のBC結果を、より正則性の低い不変測度を持つ系へと拡張する。
• この枠組みにより、区間交換写像のような強い混合性を欠く系に対しても、算術的性質と帰還時間推定に依拠することでBC結果を導出可能となる。