[論文レビュー] The Entropy Conjecture for Diffeomorphisms away from Tangencies

Gang Liao, Marcelo Viana+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ホモクラインねじれの閉包から離れた $C^1$ 微分同相写像がシューブのエントロピー予想を満たすことを証明している：位相的エントロピーは、ホモロジー上の誘導写像のスペクトル半径の対数によって下から抑えられる。主なメカニズムは、一様な拡張性を伴うエントロピー拡張性であり、エントロピーの連続性と主な符号的拡張の存在を示している。これは、持続的ねじれを示す系とは対照的である。

ABSTRACT

We prove that every C1 diffeomorphism away from homoclinic tangencies is entropy expansive, with locally uniform expansivity constant. Consequently, such diffeomorphisms satisfy Shub's entropy conjecture: the entropy is bounded from below by the spectral radius in homology. Moreover, they admit principal symbolic extensions, and the topological entropy and metrical entropy vary continuously with the map. In contrast, generic diffeomorphisms with persistent tangencies are not entropy expansive and have no symbolic extensions.

研究の動機と目的

• ホモクラインねじれの閉包から離れた $C^1$ 微分同相写像に対してシューブのエントロピー予想を確立すること。
• このような微分同相写像が一様な拡張性定数を伴うエントロピー拡張性を示すこと。
• これらの系において、位相的および測度的エントロピーが $C^1$ 位相で連続的に変化することを証明すること。
• 持続的ねじれを示す系との対比を示し、それらはエントロピー拡張性に失敗し、符号的拡張を持たないこと。
• エントロピーとスペクトル不変量を用いて、ねじれから離れた動的系の完全な位相的記述を提供すること。

提案手法

• $C^1$ の正則性とホモクラインねじれの不在を用いて、リャプノフ指数を制御することでエントロピー拡張性を証明する。
• $L_1$-優勢な分割と周期軌道における一様な双曲性を用いて、微分の成長を制御する。
• $L_1$ 未満の周期を持つ周期点に対して、一様な収縮／拡張を保証するため、リャプノフ指数の均一な下界を構成する。
• 周期集合の上半連続性と微分の連続性を用いて、 $f$ の近傍 $\mathcal{U}_0$ 内の近い $g$ に推移する推定を拡張する。
• スペクトル半径の不等式 $\log \operatorname{sp}(f_*) \leq v(f)$ を適用し、$v(f)$ を体積成長率とみなしてエントロピーと関連付ける。エントロピー拡張性を用いる。
• $C^1$ 微分同相写像がねじれから離れている場合、一様な制御が可能な支配的部分バンドルへの $C^1$-安定な分解を有することを活用し、繰り返し微分の均一な制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモクラインねじれから離れた $C^1$ 微分同相写像に対して、シューブのエントロピー予想は成り立つか？
• RQ2 このような系に対して、一様な拡張性定数を伴うエントロピー拡張性を確立できるか？
• RQ3 これらの微分同相写像は主な符号的拡張を持ち、$C^1$ パラメータ変動においてエントロピーが連続的か？
• RQ4 持続的ねじれを示す系は、エントロピー拡張性および符号的拡張に関してどのように異なるか？
• RQ5 $C^\infty$ または Axiom A 系を超えて、$C^1$ 設定におけるエントロピー予想は有効か？

主な発見

• すべての $f \in \operatorname{Diff}(M) \setminus \overline{\operatorname{HT}}$ に対してエントロピー予想が成立する。すなわち、ホモクラインねじれの閉包から離れた $C^1$ 微分同相写像に対して成立する。
• すべてのこのような微分同相写像は、局所的に一様な拡張性定数を伴うエントロピー拡張性を示し、エントロピー構造のロバスト性を保証する。
• これらの系において、位相的および測度的エントロピーは $C^1$ 位相で写像とともに連続的に変化する。
• 一般に、持続的ねじれを示す微分同相写像はエントロピー拡張性に失敗し、符号的拡張を持たない。
• 証明は、有界周期の周期軌道におけるリャプノフ指数の均一な制御と、 $f$ の近傍における微分の連続性に依存している。