[論文レビュー] The Family Blowup Formula of the Family Seiberg-Witten Invariants

Ai-Ko Liu|ArXiv.org|May 20, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4次元多様体の滑らかなファイバー束の文脈において、Seiberg-Witten不変量の家族型 blown-up 公式を確立する。古典的な blown-up 公式を家族に拡張し、スピン^c 構造、スピンターバンドル、相対的コホロロジー的技法を用いて、ファイバーewise blown-up の前後における不変量を結ぶ普遍的な公式を導出する。この成果は、数え上げ幾何学や曲線数え上げおよびHarvey-Moore予想に関する解決に応用可能である。

ABSTRACT

In the paper we formulate and derive the family blowup formula of family Seiberg-Witten invariants. The formula has been used in the enumerative application of counting singular curves on algebraic surfaces. We first give a topological derivation of the formula by using family index theorem. Then we define the algebraic (family) Seiberg-Witten invariants for algebraic surfaces and then give an algebraic derivation of the family blowup formula for the algebraic family Seiberg-Witten invariants.

研究の動機と目的

• b₂⁺ ≥ 1 を満たす4次元多様体のファイバー束に対して、Seiberg-Witten の blown-up 公式の家族版を確立すること。
• 滑らかな家族とモノドロミー不変なスピン^c 構造を用いて、古典的な blown-up 公式を相対的設定に一般化すること。
• 特に指定された重複度を持つ特異曲線の数え上げに特化した、数え上げ幾何学への応用のための基盤的ツールを提供すること。
• 代数的表面における代数的 Seiberg-Witten 不変量の家族 blown-up 公式を証明すること。
• 導来像層と射影バンドルを用いて、家族 Seiberg-Witten 不変量のための標準的障害バンドルを構成すること。

提案手法

• C^∞ スピン^c スピノルと接続の言語を用いて、滑らかさのカテゴリーにおいて家族 blown-up 公式を導出する。
• チューブ型近傍定理を適用して、ファイバーewise blown-up に沿った切断に沿って、相対的 almost complex 構造を構成する。
• 例外的ラインバンドル E を定義し、相対的スピン^c 構造の引き戻しを用いて、修正された不変量を L + mE（m が奇数）の形に表現する。
• 普遍家族上の層の零番目の導来像を用いて、標準的代数的家族 Kuranishi モデルを構成する。局所自由層 R⁰(fₙ)ₐ*(𝒪(∑mᵢEᵢ)⊗ℰ) を用いる。
• 標準的障害バンドル Obs_canonical;C−∑mᵢEᵢ を、P(V_canon) 上の H⊗π*W_canon として定義する。ここで W_canon は、重複度付きの構造層の導来像である。
• 連続する blown-up の障害バンドルを関連付ける短完全系列を確立し、混合不変量の再帰的構造を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元多様体のファイバー束におけるファミリー Seiberg-Witten 不変量は、ファイバーewise blown-up によってどのように変化するか？
• RQ2 家族設定における障害バンドルの正確な代数的幾何的構造は何か？
• RQ3 ファミリー blown-up 公式は、数え上げ幾何学における混合不変量の計算にどのように応用できるか？
• RQ4 代数的 Seiberg-Witten 不変量と滑らかな家族不変量の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 連続する blown-up において、標準的障害バンドルはどのように変化するのか？また、混合不変量の不変性においてその役割は何か？

主な発見

• スピン^c スピノルと接続を用いた C^∞ 圏における家族 blown-up 公式が導出され、古典的な blown-up 公式が家族に一般化された。
• 標準的代数的家族 Kuranishi モデル (V_canon, W_canon, Φ) が構成され、W_canon は階数 ∑ᵢ(mᵢ+1)mᵢ/2 の局所自由層である。
• 標準的障害バンドル Obs_canonical;C−∑mᵢEᵢ は、P(V_canon) 上の H⊗π*W_canon として定義され、連続する blown-up を関連付ける自然な短完全系列が存在する。
• 混合不変量は再帰的公式を満たす：AFSW_{M_{n+1}→M_n}(c, C−∑mᵢEᵢ) = ∑ₚ AFSW_{M_{n+1}→M_n}(c∪cₚ(S^{mₙ−1}(ℂ_B⊕T*M_n/M_{n−1})), C−∑_{i≤n−1}mᵢEᵢ)。
• この公式により、相対的余接バンドルの対称冪を用いた混合不変量の構造が明確に説明される。
• この枠組みにより、Göttsche と Yau-Zaslow の予想が解決され、Harvey-Moore 予想の証明が家族 blown-up 機構を用いてなされた。