[論文レビュー] The fattened Davis complex and weighted $L^2$–(co)homology of Coxeter groups

Wiktor J. Mogilski|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

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ひとこと要約

この論文は、太ったデイヴィス複体と重み付き $L^2$-(co)ホモロジーを用いて、次元3および4におけるコクセター群の重み付きシンガー予想を証明する。神経 $L$ が双曲的3単体の双対でない $S^2$ の三角形分割である場合（次元3）、および次元4ではリンクに関する完全部分複体の条件が成り立つ場合、$k > n/2$ および $q \leq 1$ のとき $L^2_qH^k(\Sigma_L)$ の消滅を確立する。主な結果は、すべての $q$ に対して重み付き $L^2$-(co)ホモロジーが単一の次数に集中しており、成長系列を用いた明示的なベッチ数の計算が可能である。

ABSTRACT

This article consists of two parts. First, we propose a program to compute the weighted [math] –(co)homology of the Davis complex by considering a thickened version of this complex. The program proves especially successful provided that the weighted [math] –(co)homology of certain infinite special subgroups of the corresponding Coxeter group vanishes in low dimensions. We then use our complex to perform computations for many examples of Coxeter groups. Second, we prove the weighted Singer conjecture for Coxeter groups in dimension three under the assumption that the nerve of the Coxeter group is not dual to a hyperbolic simplex, and in dimension four under the assumption that the nerve is a flag complex. We then prove a general version of the conjecture in dimension four where the nerve of the Coxeter group is assumed to be a flag triangulation of a [math] –manifold.

研究の動機と目的

• コクセター群の次元3および4における重み付きシンガー予想を、重み付き $L^2$-(co)ホモロジーを用いて証明すること。
• 神経 $L$ に特定の幾何的条件が成り立つ場合に、$k > n/2$ および $q \leq 1$ のとき $L^2_qH^k(\Sigma_L)$ の消滅を確立すること。
• 球面の場合の既存の結果を一般化して、3次元多様体のフラッグ三角形分割への予想の拡張を試みること。
• 成長系列およびフォン・ノイマン次元理論を用いて、明示的な $L^2_q$-ベッチ数を計算すること。

提案手法

• コクセター群 $W$ が適切かつ共にコンパクトに作用する可縮な $W$-CW複体としてのデイヴィス複体 $\Sigma_L$ を用いる。
• 重みタプル $q = (q_s)_{s \in S}$, $q_s > 0$ および共役不変性を備えた重み付き $L^2$-(co)ホモロジーを用い、$L^2_qH^k(\Sigma_L)$ 及びそのフォン・ノイマン次元を定義する。
• 重み付きポincare双対性を用いて、高次元における消滅を低次元における消滅と関連付ける。
• 頂点リンクおよびスターサブ複体に関連する部分複体における $L^2_q$-コホモロジーのメイヤー＝ビートリス系列を用いる。
• 基礎的ツールとして、定理8（ディスク型の神経に対する高次元における消滅）および定理3（次元3における消滅）を適用する。
• コクセター胞体の構造および (U,T)-壊滅分解を用いて、弱完全系列を通じてコホモロジーを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 神経が双曲的3単体の双対でない $S^2$ の三角形分割である次元3におけるコクセター群について、重み付きシンガー予想は成立するか？
• RQ2 ある頂点のリンクが双曲的3単体の双対でない完全部分複体であるという条件下で、重み付きシンガー予想は次元4に拡張可能か？
• RQ3 フラッグ三角形分割された3次元多様体について、この予想は成立するか？（球面の場合の一般化）
• RQ4 変化する $q$ に対して、$L^2_q$-(co)ホモロジーの次数にわたる正確な分布は何か？
• RQ5 成長系列から、明示的な $L^2_q$-ベッチ数を計算できるか？

主な発見

• 次元3では、神経 $L$ が双曲的3単体の双対でない $S^2$ の三角形分割であるとき、$k > 1$ および $q \leq 1$ のとき $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$ である。
• 次元4では、ある頂点のリンクが双曲的3単体の双対でない完全部分複体である場合、$k > 2$ および $q \leq 1$ のとき $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$ である。
• $S^3$ のフラッグ三角形分割に対して、重み付き $L^2$-(co)ホモロジーは $q$ に応じて単一の次数に集中する：$q \in \bar{R}$ のとき次元0、$q \notin R$ かつ $q \leq 1$ のとき次元1、$q \notin R^{-1}$ かつ $q \geq 1$ のとき次元2、$q \in \bar{R}^{-1}$ のとき次元3。
• $L^2_q$-ベッチ数は [7, コロナリー3.4] および標準的な成長系列計算 [3, 定理17.1.9] を用いて明示的に計算可能である。
• 次元3では、証明されていないケースが有限個に還元される：双曲的3単体の双対であるLánner群が9つに限られる。
• 3次元多様体のフラッグ三角形分割に対しては、$k > 2$ および $q \leq 1$ のとき $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$ である。これは $S^3$ の場合を一般化する。