[論文レビュー] The Fermat cubic and special Hurwitz loci in M_g

Gavril Farkas|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^1$ への次数 $d$ のマップをもつ曲線で、二つの未指定の三重分岐点を持つものをパラメトライズする、$\overline{\mathcal{M}}_{2d-3}$ 内のコンパクト化ハーツィー除斥 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ の類を計算する。この除斥は、擬安定曲線のモジュライ空間からの引き戻しではないことを示し、境界 $\Delta_1$ との交わりにおいてフェルマー型三次曲線テイルの系列を含むことが判明し、非自明な境界挙動を示す幾何的除斥の最初の明示的例を提供する。

ABSTRACT

We compute the class of the locus in M_g of curves having a pencil with two unspecified triple ramification points. This is the first example of a geometric divisor on M_g which is not the pull-back of a divisor on the moduli space of pseudo-stable curves. This space, in which elliptic tails are replaced by cusps, appears as a result of the first divisorial contraction in the minimal model program for M_g. In particular, we show that our divisor picks-up the locus of Fermat cubic tails when restricted to the boundary divisor of elliptic tails. We also give various enumerative applications concerning coverings of the generic curve having special ramification behaviour.

研究の動機と目的

• コンパクト化ハーツィー除斥 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ の類を、$\mathbb{P}^1$ への次数 $d$ のマップをもち、二つの未指定の三重分岐点を持つ曲線をパラメトライズする $\overline{\mathcal{M}}_{2d-3}$ 内で計算すること。
• $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ が、擬安定曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_g^{\mathrm{ps}}$ からの引き戻しでないことを示し、これまでに知られていた幾何的除斥とは区別されることを明らかにすること。
• $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ と境界除斥 $\Delta_1$ の交わりを分析し、フェルマー型三次曲線テイルの系列の出現を明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、Hodge類 $\lambda$ と境界類 $\delta_0, \dots, \delta_{d-2}$ を用いた明示的公式を用いて、$\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{2d-3})$ 内での $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ の類を計算し、組合せ論的・数え上げ的幾何学から導かれる係数を用いる。
• 彼らは $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ を境界除斥 $\Delta_1 \cong \overline{\mathcal{M}}_{1,1} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-1,1}$ に制限し、退化技法を用いてフェルマー型三次曲線テイルからの寄与を同定する。
• 計算は、有理的テイルと楕円的テイルをもつ安定曲線の適切な被覆の数え上げに依拠し、Genus 1 および 2 の曲線上の線形系列とブライル・ノイザー理論を用いる。
• 彼らは適切な被覆のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{A}}_d$ を用いて、マップ $\phi$ の次数を計算し、指定された分岐条件をもつ被覆の数を数える。
• 計算は、楕円的テイルにおけるマップの次数に基づく場合分けを含み、楕円的成分上でマップが次数 3 または 4 である場合を区別する。
• 彼らは、命題 5.1 の結果と楕円曲線上の線形系の既知の数え上げを用いて、このような線形系列の数の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーツィー除斥 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ が、擬安定曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_g^{\mathrm{ps}}$ からの引き戻しであるか。
• RQ2 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ の $\overline{\mathcal{M}}_{2d-3}$ のピカール群内での明示的類は、$\lambda$ と $\delta_i$ を用いてどのように表されるか。
• RQ3 $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ は境界除斥 $\Delta_1$ とどのように交わるのか。その中で何の幾何的系列を検出するか。

主な発見

• $\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{2d-3})$ 内での $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ の類は、$\overline{\mathfrak{TR}}_d \equiv 2\frac{(2d-6)!}{d!\,(d-3)!}\left(a\lambda - b_0\delta_0 - \sum_{i=1}^{d-2} b_i\delta_i\right)$ で与えられ、$d$ に依存する明示的係数 $a$, $b_0$, および $b_i$ をもつ。
• $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ は、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 内で擬安定曲線のモジュライ空間からの引き戻しでない幾何的除斥である最初の既知の例である。
• $\overline{\mathfrak{TR}}_d$ を $\Delta_1$ に制限すると、フェルマー型三次曲線テイルの系列が含まれる。具体的には $\alpha \cdot \{\text{Fermat cubic}\} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-1,1}$ で、$\alpha = \frac{3(2d-4)!}{d!\,(d-3)!}$ である。
• $d=4$ の場合、一般の点付き曲線 $[C,p] \in \mathcal{M}_{2,1}$ 上の、二つの三重分岐点と点 $p$ での全分岐をもつペンキルの数は $N_2(4) = 210$ であり、既知の $N_3(4)$ の値と一致する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{2,1}$ 内のコンパクト化除斥 $\overline{\mathcal{D}}_3$ の類は $640\psi - 860\lambda + 72\delta_0$ に等しく、低 genus における正確なタウトロジカル類を提供する。
• 一般の点付き曲線 $[C,p] \in \mathcal{M}_{2d-5,1}$ 上で、$h^0(L \otimes \mathcal{O}_C(-3x)) \geq 1$ および $h^0(L \otimes \mathcal{O}_C(-2p-2y)) \geq 1$ を満たす線形系列の数は $N_3(d) = \frac{84(d-3)(2d^2 - 10d + 13)(2d-4)!}{d!\,(d-2)!}$ に等しい。