[論文レビュー] The future of spin networks

Lee Smolin|ArXiv.org|Feb 17, 1997

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 12被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、スピンネットワークおよびその圏論的一般化が、非摂動的量子一般相対性理論、トポロジカル量子場理論、および弦理論を統合可能な数学的言語であると提唱する。非背景的で代数的に定義された基本的量子理論Xが、適切な極限において一般相対性理論と摂動的弦理論を再生可能であり、幾何学的構造と時空が離散的スピンネットワーク系における臨界的挙動から生じる可能性があると主張する。

ABSTRACT

The roles that spin networks play in gauge theories, quantum gravity and topological quantum field theory are briefly described, with an emphasis on the question of the relationships among them. It is argued that spin networks and their generalizations provide a language which may lead to a unification of the different approaches to quantum gravity and quantum geometry. This leads to a set of conjectures about the form of a future theory that may be simultaneously an extension of the non-perturbative quantization of general relativity and a non-perturbative formulation of string theory.

研究の動機と目的

• 非摂動的量子重力、トポロジカル場理論、および弦理論を含む多様な量子重力枠組みにおけるスピンネットワークの統合的潜在能力を探ること。
• 圏論におけるスピンネットワークの一般化が、将来の量子重力理論の基盤的言語を形成しうることを主張すること。
• 背景独立な量子理論Xが、一般相対性理論および摂動的弦理論の古典的および摂動的極限において再現可能であると仮説を立てること。
• 量子宇宙論、ブラックホール熱力学、および宇宙定数の基礎的問題を、圏論的でホログラフィックな枠組みに統合することで扱うこと。
• スピンネットワーク系における自己組織的臨界性が、外部パrameterの調整なしに大規模古典的時空が出現する仕組みを説明できる可能性を提案すること。

提案手法

• 三価のグラフから構成され、辺がスピン量子数（j）でラベル付けされた、組合せ的・関係的構造としてのスピンネットワークの使用。ノードにおける角運動量保存則を満たす。
• 閉じたスピンネットワークの評価は、ノードを通過する線のルーティングのすべての可能な方法について和をとることで定義され、符号および (−2)^N と 1/j! に依存する重みが付与される。
• 再結合理論と6j記号を用いて、グラフィカルな恒等式に対して不変となるように、組合せ的にネットワークの値を計算すること。
• テンソル圏とホップ代数表現論を、背景独立な量子理論Xの代数的枠組みとして採用すること。
• 境界における状態空間と観測可能代数の観点から理論を定式化し、ホログラフィー原理とベケンシュタイン限界を実現すること。
• 離散的系における臨界的挙動（ランダム表面や動的三角形分割に類似）を用いて、量子規則から古典的時空幾何学を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンネットワークは、非摂動的量子重力、トポロジカル量子場理論、および弦理論を結ぶ統合的言語として機能できるか？
• RQ2 テンソル圏やホップ代数といった代数的構造から、背景独立な量子理論Xがどのように生じるのか、その古典的極限はどのようなものになるのか？
• RQ3 幾何学的構造と時空が、離散的・関係的なスピンネットワーク系における臨界的挙動によって、どのようにして出現するのか？
• RQ4 ホログラフィー原理とベケンシュタイン限界は、スピンネットワークに基づく量子重力枠組みにおいて、どのように自然に実現されるのか？
• RQ5 自己組織的臨界性といったメカニズムが、結合定数の外部調整なしに大規模古典的時空が出現するのを説明できるのか？

主な発見

• 線のルーティングのすべての方法について和をとることで計算される閉じたスピンネットワークの値は、再結合恒等式に対して不変であり、トポロジカル不変量を定義する。
• 大スピン極限において、スピンネットワーク状態のノルムは、辺間の角度の概念を回復でき、量子幾何学の出現を示す。
• 理論は、面積や体積といった幾何的量を測定する演算子が離散固有値を持つと予測しており、ループ量子重力と整合的である。
• 背景幾何学を前提としない代数的定義による量子理論Xは、原則的に3+1次元一般相対性理論と物質のカップリングを古典的極限として持つ可能性がある。
• 理論Xの摂動的領域は、摂動的弦理論によって記述可能であり、スピンネットワークと弦理論との深い関係を示唆する。
• スピンネットワーク系における自己組織的臨界性は、結合定数の外部調整なしに古典的時空が出現するメカニズムを説明できる可能性がある。