[논문 리뷰] The gap between unbounded regular operators

Kamran Sharifi|ArXiv.org|2009. 01. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 C*-모듈러스 위의 유계가 아닌 정규 연산자 공간에서의 갭 위상과 리에즈 위상에 대해 연구하며, 유계 적응 가능한 연산자들이 갭 위상 하에서 열린 밀도 부분집합을 이룬다는 것을 보이고, 이 부분집합에서 갭 위상과 노름 위상의 일致성을 증명한다. 또한, 컴팩트 연산자에 대한 힐버트 C*-모듈러스 위의 정규 자기수반 프레드홀름 연산자 공간이 경로 연결되어 있으며, 호모토피류는 인덱스로 분류된다는 것을 밝힌다. 그러나 일반적인 C*-대수의 계수에 대해서는 이 성질이 성립하지 않는다.

ABSTRACT

We study and compare the gap and the Riesz topologies of the space of all unbounded regular operators on Hilbert C*-modules. We show that the space of all bounded adjointable operators on Hilbert C*-modules is an open dense subset of the space of all unbounded regular operators with respect to the gap topology. The restriction of the gap topology on the space of all bounded adjointable operators is equivalent with the topology which is generated by the usual operator norm. The space of regular selfadjoint Fredholm operators on Hilbert C*-modules over the C*-algebra of compact operators is path-connected with respect to the gap topology, however, the result may not be true for some Hilbert C*-modules.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 C*-모듈러스 위의 유계가 아닌 정규 연산자 공간에서의 갭 위상과 리에즈 위상 간의 비교.
• 갭 위상 하에서 유계 적응 가능한 연산자들의 위상적 구조를 유계가 아닌 정규 연산자 공간 내에서 조사.
• 컴팩트 연산자에 대한 C*-대수 위의 힐버트 C*-모듈러스 위의 정규 프레드홀름 연산자들의 경로 연결 성분을 특성화.
• 자기수반 유계가 아닌 프레드홀름 연산자에 대한 경로 연결성 결과가 일반적인 C*-대수의 계수로 확장되는지 여부를 판단.

제안 방법

• 밀도 있게 정의된 닫힌 연산자에 대한 그래프 위의 프로젝션의 노름 차이로 정의된 갭 메트릭을 활용.
• 힐버트 공간 $E_e$ 위에서의 사상 $\psi(t) = t_e$ 를 통한, $\mathcal{K}(H)$-위의 힐버트 C*-모듈러스 위의 밀도 있게 정의된 닫힌 연산자 공간과 힐버트 공간 위의 연산자 공간 사이의 등거리 등장사상 적용.
• 정규 프레드홀름 연산자와 그에 대응하는 유계 연산자 간의 컴팩트 연산자 모듈로의 동치를, 의사역행렬을 이용해 활용.
• 코즈와 라바루즈의 힐버트 공간 위의 프레드홀름 연산자에 대한 경로 연결성 결과를 활용하여, 힐버트 $\mathcal{K}(H)$-모듈러스로의 분류를 확장.
• 호모토피 불변량으로서의 인덱스 사상 $\text{ind}\,t = \dim_{\mathcal{K}}\ker(t) - \dim_{\mathcal{K}}\ker(t^*)$ 를 사용하여 분류.
• 릴런스, 바아주-줄그, 워노비치의 결과를 활용하여, 힐버트 C*-모듈러스에서의 유계가 아닌 정규 연산자와 그 수반의 성질을 적용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 C*-모듈러스 위의 유계가 아닌 정규 연산자 공간에서 갭 위상과 리에즈 위상은 어떻게 비교되는가?
• RQ2 유계 적응 가능한 연산자 공간이 갭 위상 하에서 유계가 아닌 정규 연산자 공간 내에서 밀도가 있고 열려 있는가?
• RQ3 유계 적응 가능한 연산자 공간에서 갭 위상과 노름 위상은 일致하는가?
• RQ4 힐버트 $\mathcal{K}(H)$-모듈러스 위의 두 유계가 아닌 정규 자기수반 프레드홀름 연산자가 동치일 조건은 인덱스가 동일할 때뿐인가?
• RQ5 자기수반 유계가 아닌 프레드홀름 연산자 공간의 경로 연결성 결과가 임의의 C*-대수의 계수에 대해 일반화되는가?

주요 결과

• 유계 적응 가능한 연산자 공간은 갭 위상 하에서 유계가 아닌 정규 연산자 공간의 열린 밀도 부분집합이다.
• 유계 적응 가능한 연산자 공간에 제한된 갭 위상은 기존의 연산자 노름에 의해 유도되는 위상과 동치이다.
• 힐버트 $\mathcal{K}(H)$-모듈러스 위의 밀도 있게 정의된 닫힌 연산자 공간과 힐버트 공간 위의 연산자 공간 사이에 갭 메트릭을 유지하는 등거리 등장사상이 존재한다.
• 힐버트 $\mathcal{K}(H)$-모듈러스 위의 정규 자기수반 프레드홀름 연산자 공간은 갭 위상 하에서 경로 연결되어 있다.
• 힐버트 $\mathcal{K}(H)$-모듈러스 위의 두 유계가 아닌 정규 프레드홀름 연산자는 동치일 조건이 인덱스가 동일할 때뿐이다.
• 자기수반 유계가 아닌 프레드홀름 연산자에 대한 경로 연결성 결과는 임의의 C*-대수의 계수에 대해 성립하지 않으며, 조아키무의 정리에 기반한 반례를 통해 이를 입증한다.