[論文レビュー] The Geometric Satake Correspondence for Ramified Groups

Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、F = k((t)) 上の再帰的群に対して、その群が包あたたかく分岐拡大で分解可能である場合に、幾何的サタケ対応を確立する。この対応により、アフィンフラッグ多様体上の Kv-不変な perverse sheaf の圏と、ガロア作用を受ける Langlands 双対群の部分群の表現のテンソル圏との間の同値性が示される。主な結果として、分岐状況におけるサタケ同型のカテゴリフィケーションが得られ、未分岐の場合を超えて、パラホリックレベル構造への一般化が可能となり、局所モデルを通じてシムーラ多様体の近接サイクルへの応用が可能になる。

ABSTRACT

We prove the geometrical Satake isomorphism for a reductive group defined over F=k((t)), and split over a tamely ramified extension. As an application, we give a description of the nearby cycles on certain Shimura varieties via the Rapoport-Zink-Pappas local models.

研究の動機と目的

• F = k((t)) 上の再帰的群で、包あたたかく分岐拡大で分解可能であるものに対して、幾何的サタケ対応を拡張すること。
• (H∨)I からの表現から、アフィンフラッグ多様体 Fℓv 上の Kv-不変な perverse sheaf の圏へのテンソル関手を構成すること。
• 分岐状況におけるサタケ同型のカテゴリフィケーションを確立し、未分岐の場合をパラホリックレベル構造に一般化すること。
• この対応を、ラポルト＝ジンクス＝パッパスの局所モデルを用いて、シムーラ多様体の近接サイクルを計算する応用に用いること。

提案手法

• Kv = L+Gv を parahoric 群スキーム Gv のジェット空間として定義し、k 上の ind-スキームとしてアフィンフラッグ多様体 Fℓv = LG/Kv を定義する。
• (H∨)I からの表現から、Fℓv 上の Kv-不変な perverse sheaf の圏 Pv への関手 Z を構成する。
• 関手 Z がテンソル関手であり、RS: Rep((H∨)I) ≃ Pv としてテンソル圏の同値を誘導することを証明する。
• 超コホモロジー関手 H∗ を用いて、RS の像を忘却関手と同一視し、幾何的サタケ同値性を確立する。
• ガロア群 I = Gal(Fs/F) が H∨ に作用することを用い、(H∨)I をガロア作用に関する不変部分群として定義する。
• 局所モデルの幾何とシュブート多様体上の交差コホモロジー層との関係を用いて、シムーラ多様体の近接サイクルへの応用を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F = k((t)) 上で分岐しているが、包あたたかく分岐拡大で分解可能である再帰的群に対して、幾何的サタケ対応をどのように拡張できるか？
• RQ2 分岐状況におけるサタケ同型を捉えるために、適切な幾何的対象（例えばアフィンフラッグ多様体）と不変性構造（例えばパラホリック部分群）は何か？
• RQ3 ガロア群が Langlands 双対群 H∨ に作用するとき、その作用はアフィンフラッグ多様体上の perverse sheaf の圏にどのように現れるか？
• RQ4 幾何的サタケ対応を、局所モデルを用いてシムーラ多様体の近接サイクルを記述するために利用できるか？
• RQ5 再帰的剰余群が異なる場合（例えば Fℓv0 と Fℓv1）、異なるフラッグ多様体におけるシュブート多様体の交差コホモロジーの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• アフィンフラッグ多様体 Fℓv 上の Kv-不変な perverse sheaf の圏 Pv は自然なテンソル構造を備える。
• (H∨)I からの表現のテンソル圏と Pv の間のテンソル同値 RS: Rep((H∨)I) ≃ Pv が存在する。ここで (H∨)I は Langlands 双対群 H∨ のガロア不変部分群である。
• 超コホモロジー関手 H∗ ∘ RS は忘却関手と同型であり、分岐状況における幾何的サタケ同値性が確認される。
• この対応は、分岐群に対するサタケ同型 (0.1) をカテゴリフィケーションし、未分岐の場合をパラホリックレベル構造に一般化する。
• 異なるフラッグ多様体（例えば Fℓv0 と Fℓv1）におけるシュブート多様体の交差コホモロジーは、再帰的剰余群が異なっていても、同じ表現を与える。たとえ一つが Gorenstein で他方が滑らかであっても同様である。
• この結果により、ラポルト＝ジンクス＝パッパスの局所モデルを用いて、特定のシムーラ多様体の近接サイクルを記述することができ、数論的幾何学と表現論を結ぶ。