[論文レビュー] The global structure of moduli spaces of polarized p-divisible groups

Eva Viehmann|ArXiv.org|Mar 28, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、特異値 $p > 2$ の代数的に閉じた体上の極小化 $p$-可除群のモジュライ空間のグローバルな幾何的構造を決定する。有理数デュドネモジュールと、フロベニウス構造を保存するシンプレクティックシミリテイの群 $J$ の作用を用いて、モジュライ空間 $ olimits_{ ext{red}}$ が等次元的であることを確立し、その次元を明示的に計算し、連結成分の集合が $ olimits_{ ext{red}}$ と同型であることを示す。一方、$J$ の不変成分への作用は推移的である。

ABSTRACT

We study the global structure of moduli spaces of quasi-isogenies of polarized p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. Using the corresponding results for non-polarized p-divisible groups from a previous paper, we determine their dimensions and their sets of connected components and of irreducible components.

研究の動機と目的

• $\mathrm{Spec}(W(k))$ 上の極小化 $p$-可除群のモジュライ空間のグローバルな幾何的構造を特定すること。
• $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の次元を任意の $p$-可除群に対して計算すること。
• $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の連結成分の集合を $p$-進一般線型群と $\mathbb{Z}$ を用いて記述すること。
• $J$ が不変成分の集合に作用するとき、その作用が推移的であることを確立すること。
• 有理数デュドネモジュールとシンプレクティック構造を用いて、非極小化の場合の結果を極小化設定に一般化すること。

提案手法

• 極小化 $p$-可除群 $\mathbb{X}$ の有理数デュドネモジュール $(N, F)$ を基本的不変量として用い、極小化によって誘導される完全な交代型双一次形式を備える。
• $J = \{g \in G(L) \mid g \circ F = F \circ g\}$ を、$L = \mathrm{Quot}(W)$ 上の一般シンプレクティック群 $G$ における $F$ の中心化群として定義する。
• $\mathcal{M}_{\text{red}}$ 上の $J$ の作用は、$N$ 内の自己双対格子への作用を通じて分析され、安定化部分群と連結成分に特に注目する。
• $J$-不変な全射 $\pi: \mathcal{M}_{\text{red}} \to \pi_0(\mathcal{M}_{\text{red}})$ を構成し、その核に $J \cap K$、$J \cap M$、$J \cap U$ が含まれることを示し、$J$ の成分への作用が推移的であることを示す。
• 次元公式は、傾き $\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$ で、$\gcd(m_j, n_j) = 1$ を満たす単純なイソクリスタルへの $N$ の分解を用い、$\sum \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'} + m$ を含む公式を適用することで導出される。ここで $m = \left\lfloor \frac{1}{2} \sum \min\{m_j, n_j\} \right\rfloor$ である。
• 等次元性と連結成分構造の証明は、異なる不変量を持つ自己双対格子を結ぶ明示的な族（例えば $\mathbb{A}^1$ 上のアフィン直線を用いて）を構成することにより行われ、それらが同じ連結成分に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小化 $p$-可除群のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の次元は何か？
• RQ2 $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の連結成分はどのようにパrameter化されるか？
• RQ3 $J$ が $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の不変成分の集合に作用するとき、その作用は推移的か？
• RQ4 $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の不変成分の集合は、$N$ のイソクリスタル分解を用いてどのように記述できるか？
• RQ5 $\mathcal{M}_{\text{red}}$ のグローバル幾何は、有理数デュドネモジュールとそのシンプレクティック構造とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathcal{M}_{\text{red}}$ は次元 $\frac{1}{2}\left(\sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'} + m\right)$ の等次元的空間であり、ここで $m = \left\lfloor \frac{1}{2} \sum_j \min\{m_j, n_j\} \right\rfloor$ である。
• $\pi_0(\mathcal{M}_{\text{red}})$ である連結成分の集合は、$\left(\mathrm{GL}_{h}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{h}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \mathbb{Z}$ と同型であり、ここで $h = \mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\text{m}})$ は $\mathbb{X}$ の乗法的部品の高さである。
• $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の不変成分の集合への $J$ の作用は推移的であり、すべての不変成分が $J$-同値であることを示唆する。
• $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の等次元性は、$J$-作用が不変成分に推移的であることから導かれ、次元公式を独立に用いても確認される。
• 証明により、$J \cap K$、$J \cap M$、$J \cap U$ がすべて $\mathcal{M}_{\text{red}}$ の同じ連結成分に属することを示し、$J$-不変写像 $\pi: \mathcal{M}_{\text{red}} \to \pi_0(\mathcal{M}_{\text{red}})$ が同型 $\pi_1(G) \cong \pi_0(\mathcal{M}_{\text{red}})$ を誘導することが示される。
• $\mathbb{A}^1$ 上のアフィン直線を用いた自己双対格子の連結族の構成により、異なる行列式の $p$-進付値（例えば 0 と 1）を持つ格子が同じ連結成分に属することを示し、恒等元を含む成分の連結性を確認する。