[論文レビュー] The graph theoretic moment problem

László Lovász, Balázs Szegedy|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、整数ではなくグラフによって添え字づけられるモーメントの古典的モーメント問題のグラフ理論的類似物を導入する。反射正値的で乗法的かつ有限ランクであるグラフ不変量は、確率的重み付きグラフへのホモモーフィズムから生じるものに限り、グラフ極限とモーメント列に関する古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We study an analogue of the classical moment problem in the framework where moments are indexed by graphs instead of natural numbers. We study limit objects of graph sequences where edges are labeled by elements of a topological space. Among other things we obtain strengthening and generalizations of the main results of previous papers characterizing reflection positive graph parameters, graph homomorphism numbers, and limits of simple graph sequences. We study a new class of reflection positive partition functions which generalize the node-coloring models (homomorphisms into weighted graphs).

研究の動機と目的

• グラフ添え字付きモーメントへの古典的モーメント問題の拡張を図ること。ここでは、多項式環における単項式の類似物としてグラフを扱う。
• 2変数関数のモーメントとして生じるグラフパラメータを特徴づけること、特にホモモーフィズム密度を通じて。
• 多重グラフおよび重み付きグラフの文脈において、反射正値性とモーメント列を一般化すること。
• 有限重み付きグラフへのホモモーフィズムに対応する有限接続ランクを持つグラフ不変量が満たすべき条件を確立すること。
• グラフ列および極限対象の文脈において、グラフ極限、ホモモーフィズム密度、反射正値性に関する先行研究を統合・強化すること。

提案手法

• 対称的可測関数 $ W: [0,1]^2 \to \mathbb{R} $ から導かれる辺変数の多変数多項式の期待値としてグラフパラメータを定義し、多重グラフによって添え字づける。
• グラフ理論的モーメントとしてホモモーフィズム密度 $ t(F,W) = \int_{[0,1]^{V(F)}} \prod_{ij \in E(F)} W(x_i,x_j) \, dx $ を用いる。
• グラフ不変量 $ f $ の接続ランク $ \text{rk}(M(f,n)) $ を導入し、$ n $ 頂点グラフ上でのモーメント行列のランクを測定する。
• 半正定値計画法とモーメント行列技術を用いて接続ランクの成長率を分析する。
• 代入法と重み付きグラフ構成を用いて、商空間 $ \mathcal{P}_n / f $ の次元を評価する。ここで $ f = \text{hom}(\cdot, H) $ である。
• 確率ベクトル $ x $ に対して $ \sum_{u,v} x_u x_v \log p_{u,v} $ の最大値を定義し、$ A(H) $ を導入することで、$ \dim(\mathcal{P}_n / f)^{1/n^2} $ の漸近的境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフパラメータが、対称的可測関数 $ W: [0,1]^2 \to \mathbb{R} $ のモーメントとして、多重グラフによって添え字づけられるか？
• RQ2 反射正値的で乗法的であるグラフ不変量が、有限重み付きグラフへのホモモーフィズム密度として表現可能となる条件は何か？
• RQ3 接続ランク $ \text{rk}(M(f,n)) $ の成長率が、グラフ不変量 $ f $ の構造をどのように決定づけるか？
• RQ4 グラフ不変量 $ f $ が確率的重み付きグラフ $ H $ へのホモモーフィズムであるとき、商空間 $ \mathcal{P}_n / f $ の次元の漸近的挙動は何か？
• RQ5 関数 $ A(H) = \max \sum_{u,v} x_u x_v \log p_{u,v} $ は、モーメント行列のランクの指数的成長率をどのように制御するか？

主な発見

• グラフ不変量 $ f $ が弱反射正値的かつ乗法的であり、ある $ n \geq 2 $ に対して有限接続ランク $ \text{rk}(M(f,n)) < \infty $ を満たすとき、かつそのときに限り、$ f = \text{hom}(\cdot, H) $ を満たす有限重み付きグラフ $ H $ が存在する。
• $ f = \text{hom}(\cdot, H) $ のとき、$ \dim(\mathcal{P}_n / f)^{1/n^2} $ の漸近的成長率は $ A(H) $ に収束する。ここで $ A(H) = \max_{x \geq 0, \sum x_u = 1} \sum_{u,v} x_u x_v \log p_{u,v} $ である。
• 有限重み付きグラフ $ H $ に対して、$ \dim(\mathcal{P}_n / f)^{1/n} $ の成長率は $ \log |V(H)| $ に近づくが、適切な確率的重み付きグラフに対しては、$ \dim(\mathcal{P}_n / f)^{1/n^2} $ の成長率は $ A(H) $ に近づく。
• $ \dim(\mathcal{P}_n / f) $ の下界は $ \frac{2^{n^2 A(H)}}{p(H)^{2n}} $、上界は $ |V(H)|^n 2^{n^2 A(H)} $ である。ここで $ p(H) = \prod_{u,v} p_{u,v} $ である。
• $ f = \text{hom}(\cdot, H) $ の接続ランクが有限であるための必要十分条件は、$ H $ が有限重み付きグラフであることであり、この条件がこのような不変量のクラスを特徴づける。
• 本研究の結果は、先行研究における反射正値的グラフパラメータおよび単純グラフ列の極限に関する特徴づけを一般化・強化し、グラフ理論におけるモーメント問題を関数解析および半正定値計画法と統合する。