[論文レビュー] The hadronic potential at short distance

Hans–Christian Pauli|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2003

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、走る結合定数のフーリエ変換における発散が原因で、QCDにおける短距離クォーク-反クォークポテンシャルは純粋にクーロン的ではありえないとしている。これは、ソフトカットオフ関数による正則化が不可欠であることを示唆する。その結果得られるポテンシャルは、短距離で $ r $ のべき級数として現れ、$ \alpha_s/r $ の代わりに線形または二次の依存性を示す。これは、従来の漸近的自由性の解釈に疑問を呈し、短距離スケールでコンfinementに類似した振る舞いが現れることを示唆する。

ABSTRACT

A fictitious discussion is taken as a point of origin to present novel physical insight into the nature of gauge theory and the potential energy of QCD and QED at short distance. Emphasized is the considerable freedom in the cut-off function which eventually can modify the Coulomb potential of two charges at sufficiently small distances. Emphasized is also that the parameters of the regularization function (the ``cut-off scale'') should not be driven to infinity but kept constant in line with the modern interpretation of renormalization theory. The paper restricts to general aspects. The technical paraphernalia and the comparison with experiment are shifted to a sequence of 4 subsequent stand-alone and sufficiently small papers to be published immediatelely hereafter.

研究の動機と目的

• 短距離スケールで $ \alpha_s(r) \sim \alpha_s/r $ のポテンシャルが成立しない理由を解明し、$ \alpha_s(Q^2)/Q^2 $ のフーリエ変換における発散を解消する。
• 短距離で $ \alpha_s/r $ ポテンシャルが有効であるという仮定を疑問視し、物理的に必要不可欠な正則化が非自明であることを主張する。
• ソフトカットオフ関数 $ R(q) = \lambda^2/(\lambda^2 + q^2) $ を用いることで、有限で解析的であるポテンシャルが得られ、短距離で $ r $ のべき級数として振る舞うことを示す。
• 現代の正則化理論に従い、カットオフスケール $ \lambda $ を無限大に飛ばすのは物理的に誤りであり、有限に保つべきであると主張する。
• 短距離で線形または二次の依存性が現れることにより、コンfinementの起源が長距離現象に限定されない可能性を示唆する。

提案手法

• $ \alpha_c(q^2)/q^2 $ の定義されていないフーリエ変換を、ソフトカットオフ関数 $ R(q) = \lambda^2/(\lambda^2 + q^2) $ を用いて正則化し、収束性を保証する。
• 積分 $ V(r) = -\frac{1}{2\pi^2} \int d^3q \frac{\alpha_c(q^2)}{q^2} R(q) e^{-i\vec{q} \cdot \vec{r}} $ を用いて正則化されたポテンシャルを導出する。この積分は解析的に取り扱える。
• $ r = 0 $ の周りでポテンシャルをテイラー展開し、$ c_0 + c_1 r + c_2 r^2 + \cdots $ の形で振る舞うことを示す。係数はカットオフパrameterに依存する。
• カットオフ関数から導かれる係数 $ s_n $ を用いて、$ \mathrm{e}^{-\lambda r} \sum_{n=0}^N s_n (\lambda r)^n $ の形でポテンシャルをモデル化する。
• 近隣領域（短距離）、中間領域、遠方領域（長距離）の3つの領域で振る舞いを解析し、滑らかな補間が可能であることを示す。
• 正則化されたポテンシャルと標準的なクーロン形を比較し、長距離では一致するが、短距離では顕著に異なることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $ \alpha_s(Q^2)/Q^2 $ のフーリエ変換がなぜ短距離で発散するのか。その物理的起源は何か。
• RQ2 特にソフトカットオフを用いた正則化関数の選択が、QCDポテンシャルの短距離振る舞いにどのように影響するか。
• RQ3 短距離ポテンシャルを $ r $ のべき級数として一貫して記述できるか。その結果、相互作用の性質にどのような含意があるか。
• RQ4 なぜカットオフスケール $ \lambda \to \infty $ をとるのは物理的に誤りであり、現代の正則化理論とどのように関係するか。
• RQ5 短距離で線形または二次の依存性が現れるのは、コンfinementの動的起源を示唆するのか。それとも長距離現象に限定されるという従来の考えに反するのか。

主な発見

• $ \alpha_c(q^2)/q^2 $ のフーリエ変換は大 $ q $ で発散し、正則化がなければ短距離で標準的な $ \alpha_s/r $ ポテンシャルは無効である。
• ソフトカットオフ $ R(q) = \lambda^2/(\lambda^2 + q^2) $ を用いることで、ポテンシャルは有限かつ解析的になり、短距離で $ r $ のべき級数として展開できる。
• 短距離ではポテンシャルが $ c_0 + c_1 r + c_2 r^2 + \cdots $ の形で振る舞い、クーロン的でない振る舞い（線形または二次依存）を示す。
• 近隣領域のポテンシャルは展開の次数 $ N $ に依存せず、主に $ a + b r + c r^2 $ の項が局所的振る舞いを決定する。
• ポテンシャルは長距離で標準的なクーロン形、短距離でべき級数形に滑らかに接続され、パラメータに依存する有限の高さの障壁を形成する。
• この結果は、コンfinementが短距離に起因する可能性を示唆し、長距離現象に限定されるという一般的な信念に反する。