[論文レビュー] The Impossibility of Approximate Agreement on a Larger Class of Graphs

Dan Alistarh, Faith Ellen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2021

Distributed systems and fault tolerance参考文献 32被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、Spernerの補題の新規一般化と2セット同意への還元を用いて、4以上の長さのサイクルや特定の非弦的グラフを含む広範なグラフクラスにおいて、待機フリーな近似同意が不可能であることを確立している。また、弦的グラフを厳密に含むクラスのグラフに対して待機フリーなアルゴリズムを提示し、共有メモリシステムにおけるこの問題の解法の限界を解消している。

ABSTRACT

Approximate agreement is one of the few variants of consensus that can be solved in a wait-free manner in asynchronous systems where processes communicate by reading and writing to shared memory. In this work, we consider a natural generalisation of approximate agreement on arbitrary undirected connected graphs. Each process is given a vertex of the graph as input and, if non-faulty, must output a vertex such that - all the outputs are within distance 1 of one another, and - each output value lies on a shortest path between two input values. From prior work, it is known that there is no wait-free algorithm among $n \ge 3$ processes for this problem on any cycle of length $c \ge 4$, by reduction from 2-set agreement (Castañeda et al., 2018). In this work, we investigate the solvability and complexity of this task on general graphs. We give a new, direct proof of the impossibility of approximate agreement on cycles of length $c \ge 4$, via a generalisation of Sperner's Lemma to convex polygons. We also extend the reduction from 2-set agreement to a larger class of graphs, showing that approximate agreement on on these graphs is unsolvable. Furthermore, we show that combinatorial arguments, used by both existing proofs, are necessary, by showing that the impossibility of a wait-free algorithm in the nonuniform iterated snapshot model cannot be proved via an extension-based proof. On the positive side, we present a wait-free algorithm for a class of graphs that properly contains the class of chordal graphs.

研究の動機と目的

• 任意の無向連結グラフにおける待機フリー近似同意の可解性を特定すること。
• 非同期共有メモリシステムにおける近似同意が不可能となるグラフの構造的性質を同定すること。
• 2セット同意への還元を用いて、既知の不可能性結果をサイクルからより広いクラスのグラフへ拡張すること。
• 待機フリーモデルにおける不可能性の証明に、組合せ的議論（例：Sperner型ラベリング）が不可欠であることを示すこと。
• 弦的グラフを厳密に超えるクラスのグラフに対して待機フリーなアルゴリズムを提示し、肯定的な可解性結果を得ること。

提案手法

• 凸多角形へのSpernerの補題の一般化を用いて、長さ c ≥4 のサイクルにおける不可能性を直接的・組合せ的証明で示す。
• 2セット同意への還元を用いて、サイクルを越えてより広いクラスのグラフにおいて近似同意が解けないことを示す。
• 非一様反復スナップショットモデルにおける不可能性は、拡張に基づく証明では確立できないことの証明により、組合せ的技法の必要性を示す。
• まず2セット同意を用いて入力集合のサイズを2以下に縮小し、次に最短経路上で反復的経路縮小を実行する同期的メッセージパス方式のアルゴリズムを設計する。
• 2つのノード以下のノード集合 X に対して、それらの最短経路上の中心ノードをマップする関数 ψ(X) を定義し、妥当性と収束性を保証する。
• f 個のByzantine障害とグラフ直径 diam(G) を用いて、ステップの複雑度が ⌊f/2⌋ + ⌈log₂ diam(G)⌉ + 1 ラウンドであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの種のグラフにおいて待機フリー近似同意が不可能であり、その原因となる構造的特徴は何か？
• RQ2 長さ c ≥4 のサイクルにおける不可能性結果を、還元に依存しない直接的証明法で示せるか？
• RQ3 待機フリーモデルにおける不可能性の証明に、組合せ的議論（例：Sperner型ラベリング）が不可欠であるか？
• RQ4 待機フリーな近似同意が可能なグラフの最大クラスは何か？
• RQ5 同期システムにおいて、近似同意の複雑度をグラフの直径と故障耐性の観点から境界づけられるか？

主な発見

• 本稿は、凸多角形へのSpernerの補題の一般化を用いて、長さ c ≥4 のサイクルにおける待機フリー近似同意の不可能性を新規かつ直接的に証明している。
• 2セット同意への還元を用いて、サイクルを越えてより広いクラスのグラフにおいて近似同意が解けないことを拡張し、その不可能性を示している。
• 非一様反復スナップショットモデルにおける不可能性は、拡張に基づく証明では確立できないことから、組合せ的技法が不可欠であることを実証している。
• 弦的グラフのクラスを厳密に含むグラフクラスに対して待機フリーなアルゴリズムを提示しており、弦的グラフが最大可解クラスでないことを示している。
• 同期的メッセージパスモデルにおいて、アルゴリズムは ⌊f/2⌋ + ⌈log₂ diam(G)⌉ + 1 ラウンドで近似同意を達成し、最短経路への反復的収縮により正しさが保証されている。