[論文レビュー] The index theorem in gauge theory on a discretized 2d non-commutative torus

Hajime Aoki, Jun Nishimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2006

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元非可換トーラス上のU(1)ゲージ理論に対してインデックス定理を拡張し、ギンスバーグ＝ウィルソン関係を満たすオーバーラップディラック作用素のインデックスを計算する。小作用量の範囲ではインデックスがトポロジカルな電荷と一致し、インデックスは格子サイズNの整数倍の値をとり、インデックスが1階級である一方で作用量がNに比例することから、連続限界における非ゼロインデックスの確率が消えることが示唆される。これは可換な場合とは対照的であり、強いCP問題の解決策となる可能性を示唆する。

ABSTRACT

The index theorem, which relates the topological charge of a gauge field configuration to the number of zero modes of the Dirac operator on that background with definite chirality, plays a central role in various topological aspects of gauge theories. We consider its extension to non-commutative geometry, taking a U(1) gauge theory on a discretized 2d non-commutative torus as a simple example, in which general classical solutions carrying the topological charge are known. For such backgrounds we calculate the index of the overlap Dirac operator satisfying the Ginsparg-Wilson relation, which turns out to agree with the topological charge when the action is small. The index takes only integer values which are multiples of N, the size of the 2d lattice. By interpolating the classical solutions, we construct explicit configurations, for which the index is of order 1, but the action becomes of order N. Our results suggest that the probability of obtaining a nonzero index vanishes in the continuum limit, which is consistent with the instanton calculus in the continuum theory. This property is in striking contrast to the corresponding commutative case, and provides a possibility to solve the strong CP problem on account of non-commutative geometry.

研究の動機と目的

• 離散化された2次元設定における非可換ゲージ理論へのインデックス定理の拡張を目的とする。
• トポロジカル電荷を有する古典的ゲージ配置におけるオーバーラップディラック作用素のインデックスの挙動を調査すること。
• 特に、非ゼロインデックスの配置が連続限界に残るかどうかを検討するために、インデックスと作用量のスケーリングを分析すること。
• 非可換幾何学における強いCP問題への影響を検討すること。

提案手法

• 格子サイズNの有限格子上に、2次元非可換トーラスを離散化し、U(1)ゲージ理論を定義する。
• ギンスバーグ＝ウィルソン関係を満たすオーバーラップディラック作用素を用い、正しいチャーミカル対称性の性質を保証する。
• トポロジカル電荷を有する古典的ゲージ配置に対してディラック作用素のインデックスを計算する。
• 古典的解の補間を用いて、インデックスが1階級であるが作用量がNに比例する明示的配置を構成する。
• 格子サイズNを大きくするに従い、インデックスと作用量のスケーリング挙動を分析する。
• 連続限界におけるインスタントン計算と比較し、非ゼロインデックスの確率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散化された2次元非可換トーラス上でのオーバーラップディラック作用素のインデックスは、古典的ゲージ配置のトポロジカル電荷を正しく反映するか？
• RQ2 大N限界においてインデックスが1階級のとき、作用量はインデックスに対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 連続限界における非ゼロインデックスを観測する確率は何か？また、可換な場合と比較してどうなるか？
• RQ4 観察されたスケーリング挙動は、非可換幾何学を用いた強いCP問題の解決メカニズムを提供できるか？
• RQ5 古典的解の補間は、格子形式におけるインデックスと作用量にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ゲージ場の作用量が小さい範囲では、オーバーラップディラック作用素のインデックスがトポロジカル電荷と一致する。
• インデックスは格子サイズNの整数倍の値に限られる。
• インデックスが1階級であるが作用量がNに比例する明示的配置が存在し、これは大きな作用量対インデックス比を示している。
• 連続限界において非ゼロインデックスを得る確率は消えることが示され、連続インスタントン計算と整合的である。
• これは可換な場合とは著しく対照的であり、非ゼロインデックスの配置が連続限界に残る可能性が低い。
• 結果は、連続限界においてトポロジカル効果が自然に抑制されることを示唆し、非可換幾何学を用いた強いCP問題の解決策となる可能性を示している。