[論文レビュー] The integrable heavenly type equations and their Lie-algebraic structure

O. E. Hentosh, Y. A. Prykarpatsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トーラス $\mathbb{T}^n$ 上の正則ループベクトル場における AKS代数的および $\mathcal{R}$-構造スキームを用いて、可積分な天界型方程式のリー代数的枠組みを確立する。これらの方程式が特別なループベクトル場の Lax 可換性条件として生じることを示し、その可積分性が余随伴軌道およびカシミール不変量に根ざしていることを明らかにする。また、ラグランジュ–ド・アレムベールの原理による機械的解釈も提示する。

ABSTRACT

There are investigated the Lie algebraic structure and integrability properties of a very interesting class of nonlinear dynamical systems called the heavenly equations, which were initiated by Plebański and later analyzed in a series of articles. Based on the AKS-algebraic and related R-structure schemes there are studied orbits of the corresponding co-adjoint actions, deeply related with the classical Lie-Poisson type structures on them. There is successively demonstrated that their compatibility condition proves to coincide exactly with the corresponding heavenly equation under regard. It is stated that all the heavenly equations allow such an origin and can be equivalently represented as a Lax type compatibility condition for specially built loop vector fields on the torus. The infinite hierarchy of conservations laws, related with the heavenly equations is discussed, its analytical structure, connected with the Casimir invariants is mentioned. In addition, the typical examples of the heavenly equations, demonstrating in details their integrability within the scheme devised in the work, are presented. The Lagrangian representation of the heavenly equations following from their Hamiltonicity with respect to both related commuting to each other evolution flows, as well as their associated bi-Hamiltonian structure are also discussed. The relationship of the heavenly type dynamical ssytems with the classical Lagrange-d'Alambert principle is demonstrated.

研究の動機と目的

• 分散のない天界型方程式のリー代数的構造と可積分性を、余随伴軌道論を用いて調査すること。
• トーラス上での Lax–Sato 系の可換性条件が、天界方程式に正確に一致することを示すこと。
• 無限階層の保存則とリー–ポワンスの構造のカシミール不変量との間の関係を確立すること。
• ラグランジュ–ド・アレムベールの原理を用いた、可積分性スキームの幾何学的および機械的解釈を提供すること。
• 既存の Lax–Sato 方程式に関する結果を統合的かつ一般化すること。

提案手法

• 正則ループリー代数 $\widetilde{diff}(\mathbb{T}^n)$ における AKS代数的スキームおよび $\mathcal{R}$-構造の適用。
• $\mathcal{\tilde{G}}^*$ における余随伴軌道の分析。これらは古典的リー–ポワンス構造に関連している。
• 根元 $\tilde{l} \in \mathcal{\tilde{G}}^*$ とカシミール不変量を用いて、$\mathcal{\tilde{G}}^*$ 上の2つの可換な流れを構成すること。
• 種となる微分形式 $\tilde{l}(\lambda)$ の時間発展方程式 (6.3) を導出すること。これは Lax–Sato 階層を表す。
• $\tilde{l}(\lambda)$ を仮想仕事とみなして $\tilde{K}(\mu)$ を生成ベクトル場とみなすことにより、Lax 発展をラグランジュ–ド・アレムベールの原理として解釈すること。
• 時間発展を表すために、リー微分のカルタンの公式 $L_{\tilde{K}(\mu)} = i_{\tilde{K}(\mu)}d + di_{\tilde{K}(\mu)}$ を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 天界型方程式は、ループ代数 $\widetilde{diff}(\mathbb{T}^n)$ の余随伴作用からどのように生じるか？
• RQ2 Lax–Sato 可換性条件と古典的天界方程式との間の明確な関係は何か？
• RQ3 天界方程式の保存則は、リー–ポワンス構造のカシミール不変量によってどのように生成されるか？
• RQ4 ラグランジュ–ド・アレムベールの原理のような機械的原理によって、これらの方程式の可積分性を解釈できるか？
• RQ5 $\mathcal{R}$-構造と AKSスキームは、これらの系の可積分構造を統合的にどのように規定するか？

主な発見

• トーラス $\mathbb{T}^n$ 上での Lax–Sato 系の可換性条件は、検討中の天界型方程式と完全に一致する。
• すべての天界方程式は、ループ代数 $\widetilde{diff}(\mathbb{T}^n)$ の余随伴軌道構造に由来し、その可積分性は $\mathcal{R}$-構造と AKSスキームに根ざしている。
• $\mathcal{\tilde{G}}^*$ 上のリー–ポワンス構造のカシミール不変量によって、無限階層の保存則が解析的に生成される。
• 種となる形式 $\tilde{l}(\lambda)$ の発展方程式 (6.3) は Lax–Sato 階層と同等であり、仮想仕事 $\delta W(t)$ が消えるとき、ラグランジュ–ド・アレムベールの原理を満たす。
• 初期の仮想仕事がゼロであれば、$\tilde{K}(\mu)$ が生成する流れにおいて $d/dt \, \delta W(t) = 0$ が成り立つことから、機械的解釈が裏付けられる。
• 根元とカシミール不変量によって生成される $\mathcal{\tilde{G}}^*$ 上の可換な流れの存在により、系の可積分性が確認され、双ハミルトニアン構造が得られる。