[論文レビュー] Recursion operators and bi-Hamiltonian structure of the general heavenly equation

M. B. Sheftel, А А Малых+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般ヘヴェン方程式（GHE）を二成分の進化的系に再定式化することで、非局所再帰作用素を3つ構築し、その上で双ハミルトニアン構造を確立する。Laxペアの分割とP. オルバーの関数的マルチベクトル理論を用いて、単一の非局所再帰作用素を導出し、それを最初のハミルトニアン作用素と合成して第二の作用素を得る。ジャコビ恒等式と整合性が検証され、系がマグリ可積分性を示す。この手法により、形式的随伴再帰作用素を用いて無限階層の非局所対称性が生成される。

ABSTRACT

We discover two additional Lax pairs and three nonlocal recursion operators for symmetries of the general heavenly equation introduced by Doubrov and Ferapontov. Converting the equation to a two-component form, we obtain Lagrangian and Hamiltonian structures of the two-component general heavenly system. We study all point symmetries of the two-component system and, using the inverse Noether theorem in the Hamiltonian form, obtain all the integrals of motion corresponding to each variational (Noether) symmetry. We discover that in the two-component form we have only a single nonlocal recursion operator. Composing the recursion operator with the first Hamiltonian operator we obtain second Hamiltonian operator. We check the Jacobi identities for the second Hamiltonian operator and compatibility of the two Hamiltonian structures using P. Olver's theory of functional multi-vectors. Our well-founded conjecture is that P. Olver's method works fine for nonlocal operators. We show that the general heavenly equation in the two-component form is a bi-Hamiltonian system integrable in the sense of Magri. We demonstrate how to obtain nonlocal Hamiltonian flows generated by local Hamiltonians by using formal adjoint recursion operator.

研究の動機と目的

• 一般ヘヴェン方程式（GHE）の可積分性フレームワークを拡張し、その対称性に対する再帰作用素を構築すること。
• 一成分のGHEを二成分の進化的系に再定式化することで、ハミルトニアン構造およびラグランジアン構造を可能にすること。
• ハミルトニアン形式における逆ネーター定理を適用し、変換対称性に対応するすべての運動積分を導出すること。
• P. オルバーの関数的マルチベクトル理論を用いて、非局所作用素に対しても、第二のハミルトニアン作用素のジャコビ恒等式と二つのハミルトニアン構造の整合性を検証すること。
• 形式的随伴再帰作用素を繰り返し適用することで、局所ハミルトニアンから高次の非局所対称性および保存則の無限階層を生成すること。

提案手法

• 一般ヘヴェン方程式の元のLaxペアをスペクトルパラメータλに関して分割し、3つの異なるLaxペアとそれに対応する再帰作用素を導出する。
• 補助変数を用いて一成分GHEを二成分の進化的系に変換し、ラグランジアンおよびハミルトニアン構造の構築を可能にする。
• ハミルトニアン形式における逆ネーター定理を適用し、二成分系のすべての点対称性に対応する運動積分を同定する。
• P. オルバーの関数的マルチベクトル理論を用いて、第二のハミルトニアン作用素のジャコビ恒等式と二つのハミルトニアン構造の整合性を検証する。
• 再帰作用素$ R $と最初のハミルトニアン作用素$ J_0 $を用いて、第二のハミルトニアン作用素を$ J_1 = R J_0 $として構築する。
• 局所ハミルトニアンのハミルトニアンの変分導関数に形式的随伴再帰作用素$ R^ op $を繰り返し適用することで、高次の非局所対称性および保存則を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パtner対称性手法が失敗する場合でも、Laxペアの分割を用いて一般ヘヴェン方程式の対称性に対する再帰作用素を導出可能か？
• RQ2 GHEの二成分進化的形は双ハミルトニアン構造を有するか？ もしそうならば、その構築法は何か？
• RQ3 P. オルバーの関数的マルチベクトル理論は非局所ハミルトニアン作用素に対しても適用可能か？ また、その適用によって正当なジャコビ恒等式と整合性条件が得られるか？
• RQ4 形式的随伴再帰作用素を用いて、局所ハミルトニアンから非局所対称性および保存則を体系的に生成する方法は何か？
• RQ5 二成分GHE系において、再帰作用素は無限階層の運動積分および対称性を生成する役割を果たすか？

主な発見

• Laxペアの分割を用いて、一般ヘヴェン方程式に対して3つの非局所再帰作用素が導出され、そのうちの1つは主となる二成分系に適用可能である。
• 二成分系としてのGHEはラグランジアン、シンプレクティック、ハミルトニアン構造を有し、ネーターの定理および逆ネーター定理の適用が可能になる。
• 二成分系のすべての点対称性が分類され、ハミルトニアン形式における逆ネーター定理を用いてそれに対応する運動積分が導出された。
• 第二のハミルトニアン作用素$ J_1 = R J_0 $が構築され、ジャコビ恒等式と$ J_0 $との整合性が検証され、双ハミルトニアン構造の確認がなされた。
• 形式的随伴再帰作用素$ R^ op $は、局所ハミルトニアンから非局所ハミルトニアン流の無限階層を生成し、高次の運動積分および対称性の構築を可能にする。
• 著者らは、P. オルバーの関数的マルチベクトル理論が非局所作用素に対しても適用可能である強力な証拠を提示している。非局所項がジャコビ恒等式の検証において相殺されることから、その一般化に関する妥当な予想が裏付けられる。