[論文レビュー] The Integrated Density of States for Random Schroedinger Operators

Werner Kirsch, Bernd Metzger|ArXiv.org|Aug 31, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 119被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ランダムシュレーディンガー作用素における統合状態密度（IDS）の包括的サーベイを提供しており、その存在、スペクトル端における漸近的挙動（リフシッツテール）、正則性特性に注目している。単一サイトポテンシャルの正則性およびランダム結合定数の分布に応じて、IDSがホルダー連続であるか、有界な密度を持つ条件を確立し、レベル統計および局在化との関連についても議論している。

ABSTRACT

We survey some aspects of the theory of the integrated density of states (IDS) of random Schroedinger operators. The first part motivates the problem and introduces the relevant models as well as quantities of interest. The proof of the existence of this interesting quantity, the IDS, is discussed in the second section. One central topic of this survey is the asymptotic behavior of the integrated density of states at the boundary of the spectrum. In particular, we are interested in Lifshitz tails and the occurrence of a classical and a quantum regime. In the last section we discuss regularity properties of the IDS. Our emphasis is on the discussion of fundamental problems and central ideas to handle them. Finally, we discuss further developments and problems of current research.

研究の動機と目的

• ランダムシュレーディンガー作用素の文脈における統合状態密度（IDS）の体系的概説を提供すること。
• ディリクレ＝ノイマンの括弧法とフェインマン＝カック表現を用いて、IDSの存在を確立すること。
• スペクトル端におけるIDSの漸近的挙動、特に量子的および古典的状態におけるリフシッツテールを分析すること。
• 単一サイトポテンシャルおよび結合定数分布の特定の条件下で、IDSの正則性（ホルダー連続性、有界密度など）を調査すること。
• IDSとレベル統計の関連、特に局在化領域におけるスペクトル端近くでポアソン型の固有値統計が現れる現象を探索すること。

提案手法

• IDSの存在は、単調性および有限体積近似の収束性を活用したディリクレ＝ノイマンの括弧法により証明される。
• フェインマン＝カック表現を用いて、IDSをブラウン運動経路の期待値として表現し、確率過程と関連付ける。
• パス積分法を用いてリフシッツテールの漸近的挙動を導出し、深いつながりのないランダムポテンシャルの井戸近くでの固有関数の局在化を活用する。
• ウェグナー型推定を用いてIDSの正則性を分析し、小さなエネルギー区間内の固有値の期待数を評価する。
• スペクトルのアンフォールディングを用いてレベル統計を研究し、エネルギーE近傍の固有値を平均間隔が1になるようにスケーリングし、極限測度を得る。
• 極限測度が、状態密度に等しい強度のポアソン過程に収束することが示され、局在化領域ではレベル反発が見られないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムシュレーディンガー作用素に対して、統合状態密度（IDS）が存在する条件は何か？
• RQ2 スペクトル端近くでのIDSの漸近的挙動はどのように振る舞い、リフシッツテール挙動における古典的・量子的状態の遷移は何かによって決定されるか？
• RQ3 IDSの正則性特性（例：ホルダー連続性、有界密度）は、ランダム結合定数の分布および単一サイトポテンシャルにどのように依存するか？
• RQ4 不規則系におけるスペクトルの底近くのレベル統計の性質は何か？ポアソン型またはワイナー＝ダイソン型の挙動を示すか？
• RQ5 磁場や長距離作用を持つ単一サイトポテンシャルが存在する場合、IDSおよびその正則性はどのように特徴づけられるか？

主な発見

• IDSは有限体積における統合状態密度の極限として存在し、ディリクレ＝ノイマンの括弧法と単調性の議論により証明される。
• リフシッツテールはスペクトル端で発生し、IDSは指数関数的に減少する。その減少率は深いつながりのないランダムポテンシャル井戸の体積に依存し、単一サイトポテンシャルの台およびランダム結合定数の分布に依存する。
• 量子的状態では、リフシッツテールの指数は次元および単一サイトポテンシャルの最小値近傍での挙動によって決定される。
• コンパクトに台を持つ単一サイトポテンシャルおよびホルダー連続な結合定数分布に対して、IDSは分布と同じ指数のホルダー連続性を示す。
• 結合定数分布がリフシッツ連続（すなわち、ホルダー連続な密度を持つ）ならば、IDSは有界な密度を持つ。
• スペクトルの底近くでは、アンフォールディングされたレベル統計が、状態密度に等しい強度のポアソン過程に収束し、レベル反発がないことが示され、アンドリュー局在化と整合的である。