[論文レビュー] The Lyapunov dimension and its computation for self-excited and hidden attractors in the Glukhovsky-Dolzhansky fluid convection model

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、グルフコフスキー＝ドラジャンスキー流体対流モデルにおける自己励起および隠れたカオス的アトラクターのリャプノフ次元について、厳密な解析的および数値的分析を提示する。統計力学的仮定を用いないカプラン＝ヨルケの公式を用いて、グローバルアトラクターに対する正確なリャプノフ次元の公式を導出し、数値推定のためのチュートリアルを提供する。その結果、自己励起アトラクターと隠れたアトラクターの両方に対して、それぞれ2.9827および2.9830の上界が得られた。

ABSTRACT

Consideration of various hydrodynamic phenomena involves the study of the Navier-Stokes (N-S) equations, what is hard enough for analytical and numerical investigations since already in three-dimensional (3D) case it is a challenging task to study the limit behavior of N-S solutions. The low-order models (LOMs) derived from the initial N-S equations by Galerkin method allow one to overcome difficulties in studying the limit behavior and existence of attractors. Among the simple LOMs with chaotic attractors there are famous Lorenz system, which is an approximate model of two-dimensional convective flow and Glukhovsky-Dolzhansky model, which describes a convective process in three-dimensional rotating fluid and can be considered as an approximate model of the World Ocean. One of the widely used dimensional characteristics of attractors is the Lyapunov dimension. In the study we follow a rigorous approach for the definition of the Lyapunov dimension and justification of its computation by the Kaplan-Yorke formula, without using statistical physics assumptions. The exact Lyapunov dimension formula for the global attractors is obtained and peculiarities of the Lyapunov dimension estimation for self-excited and hidden attractors are discussed. A tutorial on numerical estimation of the Lyapunov dimension on the example of the Glukhovsky-Dolzhansky model is presented.

研究の動機と目的

• 統計力学的仮定に依存せずに、グルフコフスキー＝ドラジャンスキー・モデルにおけるアトラクターのリャプノフ次元を計算するための厳密な解析的フレームワークを確立すること。
• このモデルにおけるグローバルアトラクターに適用可能な正確なリャプノフ次元の公式を導出すること。
• 自己励起アトラクターと隠れたアトラクターのリャプノフ次元推定値の違いが、それらの吸引域構造の相違によってどのように影響を受けるかを調査すること。
• 有限時間リャプノフ指数とSVDに基づくアルゴリズムを用いた、リャプノフ次元の数値推定の実用的チュートリアルを提供すること。
• グリッドベースの計算と軌道シミュレーションを用いた数値的検証により、ハウスドルフ次元の堅牢な上界を保証すること。

提案手法

• 統計力学的仮定を避けるカプラン＝ヨルケの公式に基づく、リャプノフ次元の厳密な定義を採用する。
• 変数変換を用いて、元のグルフコフスキー＝ドラジャンスキー系を解析を容易にする一般化されたローレンツ型系に変換する。
• 有限時間リャプノフ指数推定の数値的精度を確保するため、SVD分解を用いたリャプノフ特徴指数の計算を適用する。
• アトラクター上での初期条件のグリッドを用いて、最大の有限時間リャプノフ次元を計算し、異なる軌道にわたる堅牢性を確保する。
• 有限時間リャプノフ指数にカプラン＝ヨルケの公式を適用した上界の上界を、初期点の集合上で上限を取ることでリャプノフ次元を推定する。
• 特定のパrameter値（σ=4, A=0.0052, b=1）を用いた数値実験により、自己励起および隠れたアトラクターの上界を比較することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グルフコフスキー＝ドラジャンスキー・モデルにおけるグローバルアトラクターのリャプノフ次元は、統計力学的仮定を用いずにどのように厳密に計算できるか？
• RQ2 自己励起アトラクターと隠れたアトラクターのリャプノフ次元推定値の違いは、それらの吸引域構造の相違によってどのように生じるか？
• RQ3 有限時間リャプノフ次元は、カオス的アトラクターのハウスドルフ次元の信頼できる上界をどの程度まで提供できるか？
• RQ4 複雑なアトラクターのリャプノフ次元を推定するために、カプラン＝ヨルケの公式はどのように効果的に数値シミュレーションに応用できるか？
• RQ5 一時的ダイナミクスや非一様収束が存在する状況において、リャプノフ次元の正確で再現可能な計算を保証するための数値的戦略は何か？

主な発見

• グルフコフスキー＝ドラジャンスキー・モデルにおけるグローバルアトラクターの正確なリャプノフ次元の公式が導出され、厳密な数学的条件下で有効であることが示された。
• r=687.5における自己励起アトラクターに対して、リャプノフ次元の上界は2.982747...と推定され、ハウスドルフ次元のタイトな推定値が得られた。
• r=700における隠れたアトラクターに対して、リャプノフ次元の上界は2.983037...であり、動的挙動の相違により自己励起の場合よりわずかに高かった。
• 数値実験により、初期点のグリッド上で有限時間リャプノフ次元の最大値を取ることで、アトラクター次元の信頼できる上界が得られることを確認した。
• 有限時間リャプノフ指数の計算にSVDに基づくアルゴリズムを用いることで、特に一時的ダイナミクスの影響を受ける状況でも、数値的安定性と精度が確保された。
• 本研究は、リャプノフ次元が真の幾何学的次元ではないものの、フラクタルアトラクターのハウスドルフ次元の堅牢で計算可能な上界として機能することを示した。