[論文レビュー] The $m$-Cover Posets and the Strip-Decomposition of $m$-Dyck Paths

Myrto Kallipoliti, Henri Mühle|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

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ひとこと要約

本稿では、m-Tamariラティス T(m)n を m 個のDyckパスの成分ごとの回転順序による m-重ねとして実現するために、m-カバー順序型の構成を導入する。主なイノベーションは、m-Dyckパスを古典的Dyckパスの m-重ねに分解するストリップ分解であり、これにより m-カバー順序型の最小ラティス補完が T(m)n に同型であることを証明できる。この結果は、カンブリアンラティスや一般化されたFuss-Catalan数への応用を伴う。

ABSTRACT

Abstract. In the first part of this article we present a realization of the m-Tamari lattice T (m)n in terms of m-tuples of Dyck paths of height n, equipped with componentwise rotation order. For that, we define the m-cover poset P〈m 〉 of an arbitrary bounded poset P, and show that the smallest lattice completion of the m-cover poset of the Tamari lattice Tn is isomorphic to the m-Tamari lattice T (m)n. A crucial tool for the proof of this isomorphism is a decomposition of m-Dyck paths into m-tuples of classical Dyck paths, which we call the strip-decomposition. Subsequently, we characterize the cases where the m-cover poset of an arbitrary poset is a lattice. Finally, we show that the m-cover poset of the Cambrian lattice of the dihedral group is a trim lattice with cardinality equal to the generalized Fuss-Catalan number of the dihedral group. Résumé. Dans la première partie de cet article nous présentons une réalisation du treillis m-Tamari T (m)n a ̀ l’aide de m-uplets de chemins de Dyck de hauteur n, équipés de l’ordre de rotation composante par composante. Pour cela, nous définissons le poset de m-couverture P〈m 〉 d’un poset borne ́ quelconque P, et montrons que la plus petite complétion en treillis du poset dem-couverture du treillis de Tamari Tn est isomorphe au treillism-Tamari T (m)n. Un outil crucial pour la preuve de cet isomorphisme est une décomposition des cheminsm-Dyck enm-uplets de chemins de Dyck usuels, que nous appelons la décomposition en bandes. Par la suite, nous caractérisons les cas ou ̀ le poset de m-couverture d’un poset donne ́ est un treillis. Enfin nous montrons que le poset dem-couverture du treillis Cambrien du groupe diédral est un treillis svelte de cardinalite ́ le nombre généralise ́ de Fuss-Catalan du groupe diédral.

研究の動機と目的

• m-Tamariラティス T(m)n を m 個のDyckパスの m-重ねとして、成分ごとの回転順序のもとで新しい組合せ的実現を提供すること。
• 任意の有界順序型 P に対して m-カバー順序型 P⟨m⟩ を定義し、そのラティス的性質を研究すること。
• Tamariラティス Tn の m-カバー順序型の最小ラティス補完が T(m)n に同型であることを確立すること。
• 与えられた順序型の m-カバー順序型がラティスをなすための条件を特徴づけること。
• 二面体群のカンブリアンラティスの m-カバー順序型が、一般化されたFuss-Catalan数に等しい濃度を持つトリムラティスであることを示すこと。

提案手法

• 有界順序型 P の m 個のカバーの m-重ねからなる順序型 P⟨m⟩ を、成分ごとの順序により定義する。
• m-Dyckパスを m 個の古典的Dyckパスの m-重ねに分解するストリップ分解を導入し、構造的解析を可能にする。
• m 個のDyckパスの m-重ねにおける成分ごとの回転順序を用いて、m-Tamariラティス T(m)n を定義する。
• ストリップ分解と順序構造を用いて、P = Tn のときの P⟨m⟩ の最小ラティス補完が T(m)n に同型であることを証明する。
• 元の順序型 P の構造に基づいて、P⟨m⟩ がラティスをなす条件を特徴づける。
• この枠組みを二面体群のカンブリアンラティスに適用し、それが一般化されたFuss-Catalan数に等しい濃度を持つトリムラティスを生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m-Tamariラティス T(m)n は、成分ごとの回転順序のもとで m 個のDyckパスの順序型として実現可能か？
• RQ2 有界順序型 P の m-カバー順序型 P⟨m⟩ がラティスをなすための条件は何か？
• RQ3 m-Dyckパスのストリップ分解は、Tn⟨m⟩ の最小ラティス補完と T(m)n の同型性をどのように支援するか？
• RQ4 二面体群のカンブリアンラティスの m-カバー順序型の構造は何か？
• RQ5 二面体群のカンブリアンラティスの m-カバー順序型の濃度は何か？ 一般化されたFuss-Catalan数とどのように関係するか？

主な発見

• Tamariラティス Tn の m-カバー順序型の最小ラティス補完は、m-Tamariラティス T(m)n に同型である。
• ストリップ分解により、m-Dyckパスが m 個の古典的Dyckパスの m-重ねに一対一に対応して分解され、同型性の証明に不可欠な役割を果たす。
• m-カバー順序型 P⟨m⟩ がラティスをなすための必要十分条件は、元の順序型 P が特定の構造的性質を満たすことであり、本稿ではその特徴づけがなされている。
• 二面体群のカンブリアンラティスの m-カバー順序型は、一般化されたFuss-Catalan数に等しい濃度を持つトリムラティスである。
• m 個のDyckパスの m-重ねにおける成分ごとの回転順序は、m-Tamariラティス T(m)n を実現し、このラティスの新しい組合せ的モデルを提供する。