[論文レビュー] The MathScheme Library: Some Preliminary Experiments

Jacques Carette, William M. Farmer+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2011

Mathematics, Computing, and Information Processing参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

MathSchemeライブラリは、抽象的・具象的理論、普遍代数的構成、コード生成を活用することで、再帰的でない形式的数学の形式化を可能にするモジュラーで理論基盤のアプローチを導入する。Objective Camlにおける微小理論、理論の組み合わせ、生成技術を用いて、200以上の理論にわたり、ホモモーフィズム、部分構造、その他の代数的概念を最小限の手動入力で自動的に導出する。これにより、形式的数学ライブラリのスケーラビリティと保守性が著しく向上する。

ABSTRACT

We present some of the experiments we have performed to best test our design for a library for MathScheme, the mechanized mathematics software system we are building. We wish for our library design to use and reflect, as much as possible, the mathematical structure present in the objects which populate the library.

研究の動機と目的

• 理論の背後にある数学的構造を反映するスケーラブルでモジュラーな形式的数学ライブラリの設計。
• 抽象的・具象的理論のネットワークとして知識を整理することで、形式的数学における再冗長性の最小化。
• 再利用可能な変換パターンを用いて、ホモモーフィズムや部分構造などの代数的構造を理論間で自動生成する。
• 理論型態と普遍代数を基盤とする生成技術が、大規模な数学ライブラリの構築・保守に要する作業を著しく削減できるかどうかの評価。
• 二重理論（公理とアルゴリズムの統合）と高水準の理論インターフェースを用いて、形式的推論と記号計算を統合する可能性の探求。

提案手法

• ライブラリは『微小理論』を用いる。各数学的概念（例：可換性）を一度定義し、複数の理論で再利用する。
• 共有された基本理論（例：Field = combine DivisionRing と CommutativeRing を Ring 上で）を介して理論を『結合』する。
• Objective Camlにおける生成技術は、Multiplateにインspiredしたコンビネータを用いて、理論構文の再帰的走査により変換（例：ホモモーフィズム、部分構造）を実装する。
• システムは、1つの生成器を用いて、200以上の理論すべてにわたるホモモーフィズムの公理（例：加法の保存、スカラー乗法の保存）を自動で導出する。
• 理論インターフェースと実装を分離することで、同一インターフェースに複数の実装が適合可能となり、モジュラリティと再利用性を向上させる。
• 普遍代数的構成（例：部分構造、積）は、理論上の均一な操作として形式化され、さまざまな代数的系にわたる体系的な再利用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的公理的理論は『微小理論』法を用いて組織化可能であり、再冗長性の低減とモジュラリティの向上が図れるか？
• RQ2 具象的理論は、抽象的理論と同一の形式化手法を用いて開発可能であり、シームレスな統合が可能か？
• RQ3 普遍代数的構成は、理論上の均一な操作として形式化可能であり、体系的な代数的構造の生成が可能か？
• RQ4 二重理論（公理とアルゴリズムの統合）は、形式的数学ライブラリにおける従来の公理的理論を均一に置き換え可能か？
• RQ5 理論インターフェースと実装は、1つのインターフェースが複数の実装をサポートするように構造化可能であり、拡張性と再利用性が向上するか？

主な発見

• システムは、1つのコード生成器を用いて、200以上の理論すべてにわたってホモモーフィズム、部分構造、その他の代数的概念の正しい完全な定義を自動生成する。
• 人的作業が著しく削減される：部分構造の定義方法の変更は、生成器の修正のみで可能であり、個々の理論を変更する必要がない。
• このアプローチにより、教科書ではしばしば『自明』とされる公理（例：ベクトル空間のホモモーフィズムにおける加法的およびスカラー乗法の保存）が省かれることが判明したが、システムは正しくそれらを導出する。
• ライブラリのソースコードは小さく読みやすく、しかし効果的な再利用とコード生成のおかげで膨大な量の拡張された数学的知識を捉え込んでいる。
• 著者らは、理論ネットワークに高階構造が存在することを発見した。例えば、異なる理論に同じ構成を繰り返し適用する現象があり、これはグラフレベルの理論合成の必要性を示唆している。
• 現在のライブラリは、理論構成グラフの取り扱いに欠落した機能があるため不完全である。これにより、スケーラビリティを確保するには、将来的にグラフベースの理論合成をサポートする仕組みが必要であると示唆される。