[논문 리뷰] The Merton Problem with a Drawdown Constraint on Consumption

Thankom Arun|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 소비의 이전 최고치의 고정 비율 이하로 떨어지지 않도록 보장하는 소비의 드로우다운 제약 조건을 도입함으로써 고전적인 Merton 문제를 확장한다. 스토하스틱 최적 제어와 쌍대성 방법을 사용하여 CRRA 효용 하에서 최적의 소비 및 포트폴리오 정책에 대한 명시적 해를 유도하며, 자산가치 대 최고 소비 비율에 기반한 네 가지의 구분되는 행동 영역을 규명한다. 최적성은 엄밀한 검증 추론을 통해 입증된다. 낮은 위험 회피 정도(R ≤ R∗)에서는 문제의 설정이 잘못되어 무한한 기대 효용이 가능해지므로 문제가 정의되지 않는다.

ABSTRACT

In this paper, we work in the framework of the Merton problem but we impose a drawdown constraint on the consumption process. This means that consumption can never fall below a fixed proportion of the running maximum of past consumption. In terms of economic motivation, this constraint represents a type of habit formation where the investor is reluctant to let his standard of living fall too far from the maximum standard achieved to date. We use techniques from stochastic optimal control and duality theory to obtain our candidate value function and optimal controls, which are then verified.

연구 동기 및 목표

• 소비가 이전 최고치의 고정 비율 이하로 떨어지지 않도록 보장하는 드로우다운 제약 조건이 있는 연속 시간 최적 소비 및 포트폴리오 선택 문제를 모델링하고 해결한다.
• 투자자가 과거 최고 수준 이하로 소비를 줄이는 것을 꺼리는 경향을 반영하기 위해 Merton 프레임워크에 습관 형성 요소를 통합한다.
• 이동 최대치에 의한 비마르코프성 제약 조건(비마르코프성)을 도입함으로써 고전적인 Merton 문제를 확장하고, 쌍대성 및 검증 기법을 사용하여 명시적 해를 도출한다.
• 문제가 정의되지 않는 임계 임계값 R∗ 이하에서, 특정 전략에 의해 무한한 기대 효용이 가능해지므로 문제의 정의가 불가능해지는 조건을 규명한다.

제안 방법

• 리스크 없는 자산과 기하 Brownian 운동에 의해 운동하는 위험 자산을 갖는 표준 Black-Scholes 시장에서 문제를 수립한다.
• 드로우다운 제약 조건을 도입: ct ≥ b sup₀≤s≤t cs, b ∈ (0,1), 습관 형성 모델링.
• CRRA 효용 하에서 쌍대 형식을 사용하여 제약 조건이 있는 문제를 더 다룰 수 있는 비제약 문제로 변환하고, 명시적 해석적 해를 도출한다.
• 스토하스틱 최적 제어 및 해밀토니안-자코비-벨만(HJB) 기법을 적용하여 후보 가치 함수 및 최적 제어를 유도한다.
• Dybvig(1995)의 접근 방식을 기반으로 하되, 드로우다운 제약 조건에 맞게 수정한 검증 추론을 사용하여 후보 해의 최적성을 엄밀히 증명한다.
• 자산가치 대 소비의 이동 최대치 비율에 따라 상태 공간을 네 영역으로 나누어 최적 정책의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소비가 이전 최고치의 고정 비율 이하로 떨어지지 않도록 보장하는 드로우다운 제약 조건을 도입할 경우, Merton 프레임워크 내에서 최적 포트폴리오 및 소비 정책에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 이러한 제약 조건 하에서 최적 제어 정책의 구조적 특성은 무엇이며, 표준 Merton 해와 어떻게 다를까?
• RQ3 이러한 경로 의존적 제약 조건이 있는 비마르코프성 최적 제어 문제의 이론적 해법으로서 쌍대 형식이 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ4 상대적 위험 회피 계수 R에 대해 어떤 조건에서 문제가 잘 정의되어 있으며, 언제 무한한 기대 효용이 가능해지는가?
• RQ5 문제가 정의되지 않는 임계값 R∗는 무엇이며, 모델의 매개변수에 따라 어떻게 특성화되는가?

주요 결과

• 최적의 소비 및 포트폴리오 정책은 현재 자산가치 대 과거 소비의 이동 최대치 비율에 따라 네 가지의 명확히 구분되는 행동 영역으로 특징지어진다.
• 자산가치 대 최고 소비 비율이 낮은 경우, 소비는 드로우다운 제약 조건에 의해 허용되는 최소 수준으로 제약을 받는다.
• 비율이 증가함에 따라 소비는 자산가치와 비례하여 증가하며, 이는 표준 소비 규칙을 반영한다.
• 세 번째 영역에서는 소비가 기록된 최고 수준을 유지하면서 자산가치 대 최고 소비 비율이 임계값에 도달할 때까지 기다리는 전략을 취한다. 이후 소비는 새로운 최고 수준으로 증가된다.
• R ≤ R∗일 경우 문제의 설정이 잘못되어지며, 이는 특정 전략에 의해 무한한 기대 효용이 가능해지기 때문이다.
• 임계값 R∗는 명시적으로 특성화되며, 이는 이중 과정의 장기 성장률이 비음이 되는 조건과 일치한다. 이는 표준 Merton 문제에서 알려진 결과와 일치한다.