[論文レビュー] The Mittag-Leffler process and a scaling limit for the block counting process of the Bolthausen-Sznitman coalescent

Martin Möhle|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Mittag-Leffler分布に従う有限次元分布をもつ時刻一様なマコフ過程としてのMittag-Leffler過程を導入し、ボルタウーゼン＝ツニットマン共析過程のスケーリングされたブロック数過程が、標本サイズ $ n \to \infty $ のときスコロフホド位相でこの過程に弱収束することを確立している。スケーリング $ n^{e^{-t}} $ が非退化収束のための臨界的尺度であることが示され、この極限過程はその半群および同時モーメントによって特徴付けられる。

ABSTRACT

The Mittag-Leffler process $X=(X_t)_{t\ge 0}$ is introduced. This Markov process has the property that its marginal random variables $X_t$ are Mittag-Leffler distributed with parameter $e^{-t}$, $t\in [0,\infty)$, and the semigroup $(T_t)_{t\ge 0}$ of $X$ satisfies $T_tf(x)={\mathbb E}(f(x^{e^{-t}}X_t))$ for all $x\ge 0$ and all bounded measurable functions $f:[0,\infty) o{\mathbb R}$. Further characteristics of the process $X$ are derived, for example an explicit formula for the joint moments of its finite dimensional distributions. The main result states that the block counting process of the Bolthausen-Sznitman $n$-coalescent, properly scaled, converges in the Skorohod topology to the Mittag-Leffler process $X$ as the sample size $n$ tends to infinity.

研究の動機と目的

• 新しい確率過程、Mittag-Leffler過程を定義し、Mittag-Leffler分布に従う有限次元分布と特定の半群構造を持つように特徴付けること。
• ボルタウーゼン＝ツニットマン $ n $-共析過程のスケーリングされたブロック数過程が $ n \to \infty $ のときMittag-Leffler過程に弱収束することを確立すること。
• 非標準的な時間依存スケーリング $ n^{e^{-t}} $ の選択を正当化し、これが非退化極限をもたらすことを示すこと。
• Mittag-Leffler過程の有限次元分布の同時モーメントについて明示的な公式を導出すること。

提案手法

• Mittag-Leffler分布に従うパラメータ $ e^{-t} $ を持つ確率変数 $ X_t $ を用いて、半群 $ T_t f(x) = \mathbb{E}[f(x^{e^{-t}} X_t)] $ によりMittag-Leffler過程 $ X = (X_t)_{t \geq 0} $ を定義する。
• 有界連続関数で無限遠で消える関数の空間における半群のFeller性および強い連続性を用いて、過程 $ X $ の存在を確立する。
• Mittag-Leffler分布の性質とモーメント母関数を用いて、$ X $ の同時モーメントの明示的公式を導出する。
• ブロック数過程 $ N^{(n)} $ の生成作用素のスペクトル分解を用いて、そのモーメントの正確な表現を導出し、特に $ \mathbb{E}[N_t^{(n)}] = \frac{\Gamma(n + e^{-t})}{\Gamma(n)\Gamma(1 + e^{-t})} $ を得る。
• 有限次元分布の収束とタイトネスの確認により、スケーリング過程 $ X_t^{(n)} = N_t^{(n)} / n^{e^{-t}} $ がスコロフホド位相で $ X_t $ に弱収束することを証明する。
• 極限過程 $ X $ は時刻一様である一方、有限 $ n $ のスケーリング済み過程 $ X^{(n)} $ は時刻非一様であるため、漸近的時刻一様性が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルタウーゼン＝ツニットマン共析過程のブロック数過程に対して、$ n \to \infty $ のとき非退化極限を得るための適切なスケーリングは何か？
• RQ2 スケーリングされたブロック数過程の極限挙動と一致する有限次元分布を持つ新しい確率過程を構成できるか？
• RQ3 極限過程の主な確率論的および解析的性質、たとえばその半群およびモーメント構造は何か？
• RQ4 この極限過程は、自己回帰的Mittag-Leffler過程などの既知の過程とどのように関係しているか？
• RQ5 スケーリングされたブロック数過程が極限過程にスコロフホド位相で収束するか？

主な発見

• スケーリングされたブロック数過程 $ X_t^{(n)} = N_t^{(n)} / n^{e^{-t}} $ は、$ n \to \infty $ のときスコロフホド位相でMittag-Leffler過程 $ X $ に分布収束する。
• 極限過程 $ X_t $ の周辺分布はパラメータ $ e^{-t} $ のMittag-Leffler分布であり、すべてのモーメントは $ \mathbb{E}[X_t^m] = m! / \Gamma(1 + m e^{-t}) $ で与えられる。
• Mittag-Leffler過程の半群は $ T_t f(x) = \mathbb{E}[f(x^{e^{-t}} X_t)] $ で与えられ、マルコフ性および遷移機構を特徴付ける。
• Mittag-Leffler分布のモーメント母関数から導かれる公式を用いて、$ X $ の有限次元分布の同時モーメントが明示的に計算される。
• 極限過程 $ X $ は時刻一様であるが、有限 $ n $ のスケーリング済み過程 $ X^{(n)} $ は時刻非一様であるため、漸近的時刻一様性が示される。
• 対数ブロック数過程 $ \log N_t^{(n)} - e^{-t} \log n $ は $ \log X_t $ に収束する。これは、共析過程における対数スケーリングの役割を強調する。