[論文レビュー] The Multidimensional Berry-Hannay Model

Shamgar Gurevich, Ronny Hadani|ArXiv.org|Mar 18, 2004

Mathematics and Applications参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子トーラス代数 $\mathcal{A}_{\varepsilon,\hbar}$ 及びそのシンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})$ による作用を活用することで、2n次元シンプレクティックトーラスにおける正規化・射影的・等変な量子化を構築する。有理数プランク定数 $\hbar = M/N$ で $\gcd(M,N) = 1$ のとき、群作用に関して不変な唯一の既約表現が存在することを証明し、関数代数およびシンプレクティック対称性と両立する正規化量子化を実現する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct the Berry-Hannay model of quantum mechanics on a 2n-dimensional symplectic torus. We construct a simultaneous quantization of the algebra $\cal A$ of functions on the torus and the linear symplectic group $\G = \Sp(\mathrm{2n},\Z)$. In the construction we use the quantum torus $\A$, which is a deformation of $\cal A$, together with a $\G$-action on it. We obtain the quantization via the action of $\G$ on the set of equivalence classes of irreducible representations of $\A$. For $\h \in \Q$ this action has a unique fixed point. This gives a canonical projective equivariant quantization. There exists a Hilbert space on which both $\G$ and $\A$ act in a compatible way.

研究の動機と目的

• 2次元のベリー＝ハンエイモデルを高次元シンプレクティックトーラスへ拡張すること。
• トーラス上の滑らかな関数と線形シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})$ の同時量子化を構築すること。
• 量子トーラス代数の既約表現への $\mathrm{G}$ の作用を通じて、正規化・射影的・等変な量子化を確立すること。
• $\hbar \in \mathbb{Q}$ のとき、唯一の $\mathrm{G}$-不変既約表現が存在することを証明すること。

提案手法

• トーラス上の滑らかな関数の代数 $\mathcal{A} = C^\infty(\mathbf{T})$ の変形として、量子トーラス代数 $\mathcal{A}_{\varepsilon,\hbar}$ を用いる。
• 2種類の代数を定義する：$\mathcal{A}_{0,\hbar}$ をリエフェルの量子トーラスとし、$\mathcal{A}_{1,\hbar}$ をねじれを加えたバージョンとする。
• 量子トーラス代数 $\mathcal{A}_{\varepsilon,\hbar}$ の既約表現を構築し、$\hbar = M/N$ で $\gcd(M,N) = 1$ のとき、次元が $N^n$ であることを示す。
• 集合 $\mathrm{Irr}(\mathcal{A}_{\varepsilon,\hbar})$ の既約表現の同値類への $\mathrm{G} = \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})$-作用を定義する。
• 群 $\mathrm{G}$ の作用に関して不変な唯一の既約表現を、$\mathrm{Hom}(\Lambda^*, \mathbb{C}^\times)$ の自明な特徴標により特定し、正規化量子化を導く。
• 不変表現のヒルベルト空間への $\mathrm{G}$ の正規化表現を構築し、エゴロフの恒等式 $\rho(B)^{-1}\pi(f)\rho(B) = \pi(f \circ B)$ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元トーラス上において、滑らかな関数の代数とシンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})$ の同時的・等変な量子化は存在するか？
• RQ2 有理数プランク定数 $\hbar \in \mathbb{Q}$ に対して、正規化量子化を構築できるか？
• RQ3 量子トーラス代数 $\mathcal{A}_{\varepsilon,\hbar}$ に対して、$\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})$ の作用に関して不変な唯一の既約表現が存在するか？
• RQ4 表現空間への $\mathrm{G}$-作用は、トーラス上の古典的シンプレクティック力学とどのように関係するか？

主な発見

• $\hbar = M/N \in \mathbb{Q}$ で $\gcd(M,N) = 1$ のとき、$\varepsilon = MN \mod 2$ を満たす $\mathrm{G} = \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})$ の作用に関して不変な $\mathcal{A}_{\varepsilon,\hbar}$ の唯一の既約表現が存在する。
• この正規化表現の次元は $N^n$ であり、既約かつ有限次元的である。
• $\mathrm{G}$-作用は、$\mathrm{Hom}(\Lambda^*, \mathbb{C}^\times)$ への作用と $\mathrm{G}$-同変同型である。自明な特徴標が唯一の不動点である。
• 不変表現のヒルベルト空間への $\mathrm{G}$ の正規化表現を構築し、エゴロフの恒等式 $\rho(B)^{-1}\pi(f)\rho(B) = \pi(f \circ B)$ を満たす。ここで $f \in \mathcal{A}$ および $B \in \mathrm{G}$ である。
• 表現空間へのヒルベルト空間構造はスカラー倍を除き一意であり、すべてのヒルベルト空間上の既約 $*$-表現は、単位円板 $S^1$ に値をとる特徴標 $\chi_\pi$ に対応する。
• 本研究は、有理数 $\hbar$ を持つ高次元シンプレクティックトーラスに対して、初めて明示的かつ正規化・等変な量子化を提供する。