[論文レビュー] The Multiplicity-Polar Theorem

Terence Gaffney|ArXiv.org|Mar 21, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、有限余長でない加群に対して交差理論を一般化するための多重極定理（multiplicity-polar theorem）を導入する。これは、加群の対の多重度を定義することで、摂動に対して正しく変形する不変量を提供する。この結果を用いて、孤立特異点をもつ微分1次形式の指数を計算し、コhen-Macaulay特異点を仮定しない積分的従属の専用原理を確立する。

ABSTRACT

Given a family of pairs of modules parametrised by a smooth space Y, the Multiplicity-Polar Theorem relates the multiplicity of the pair of modules at a special point of the parameter to the multiplicity of the pair at a generic point. This theorem is proved in this paper (Corollary 1.4). The applications of the Multiplicity-Polar theorem are of two types. In the first we construct a deformation so that we can understand the significance of the multiplicity of the pair, or show we can use the multiplicity of the pair to describe some geometric behavior. Applications of this type are the geometric significance of the BR-multiplicity (Theorem 2.1), the geometric significance of multiplicity of the pair (J(f), I) where f defines a hypersurface with non-isolated singularities, J(f) is the jacobian ideal of f and I is the ideal of the singular locus of the hypersurface. We do the cases where I defines a complete intersection (Theorem 2.3), or the hypersurface is the image of a finitely determined map-germ F: C^2,0 o C^3,0 (Theorem 2.6). We then show how the multiplicity of the pair can be used to calculate the index of a differential 1-form with an isolated singularity on a germ of an isolated singularity (Theorem 2.8). In the second kind of application, we use the generalization of the Principle of Specialization of Integral Dependence to prove results in equisingularity. The particular condition we study in this paper is the W_f condition (Theorems 2.10 and 2.11).

研究の動機と目的

• 解析的空間における有限余長でない加群へと交差理論を理想子から一般化すること。
• 幾何学的および位相的不変量を捉えることができる、加群の対に対する変形不変多重度を定義すること。
• テイシエの仕事に拡張する、加群族に対する積分的従属の専用原理を確立すること。
• 非孤立特異点をもつ空間上での孤立特異点をもつ微分1次形式の指数を計算するための枠組みを提供すること。
• スケール依存性の失敗を回避するため、加群の対の多重度に注目することで、従来の多重度理論の欠陥を是正すること。

提案手法

• 交差理論的手法を用いて、Nの部分加群Mが有限余長であるときの加群対(M,N)の多重度を定義する。
• 変形挙動を制御し摂動に対して不変性を保証するために、加群対の混合極の概念を適用する。
• 加群の幾何構造とその積分閉包を分析するために、M変換とブ lowup 技法を用いる。
• 多重極公式を用いて、加群対の多重度とヤコビアン加群を含む複体のオイラー標跡数との関係を確立する。
• 加群対の多重度が変形に対して不変であることに基づき、積分的従属の専用原理を適用する。
• 位相的制御とファイバー単位の不変性を保証するために、ホイットニーおよびW_f条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限余長でない加群に対して、理想子の多重度をどのように一般化すれば、変形不変性を保てるか？
• RQ2 特異点および交差理論の文脈において、加群対の多重度が持つ幾何的意味は何か？
• RQ3 有限余長でない加群族に対しても、積分的従属の専用原理を拡張できるか？
• RQ4 非コhen-Macaulay空間上での孤立特異点をもつ微分1次形式の指数と、加群対の多重度はどのように関係するか？
• RQ5 加群族の摂動において、加群対の多重度がパラメータに依存しない条件は何か？

主な発見

• 加群対の多重度は摂動に対して正しく変形され、理想子の多重度の振る舞いを一般化する。
• 多重極定理により、$ e_{ ext{inv}}(m_Y J_M(F_y;f_y), H_{d-1}(JM(F)_{r_k})(y) igoplus ilde{ ho}_y, y) $ が、$(X-Y,Y)$ がW_f条件を満たす限り、$ y $ に依存しないことが保証される。
• $ f $ と $ l $ が両方ともファイバーに横断的であり、ホイットニー条件が成り立つとき、差 $ |e(m_Y J_M(F_y;f_y), ullet) - e(m_Y J_M(F_y;l), ullet)| $ は $ y $ に依存しない。
• 加群対の多重度により、非孤立特異点をもつ局所環上での孤立特異点をもつ微分1次形式の指数を計算可能となる。
• 従来の一般化が抱えるスケール問題を回避するため、0次元のストラトムに注目することで、加群対の多重度に焦点を当て、ファイバー次元の変化に対する制御を回復する。
• この手法により、[13]および[12]の結果を拡張し、テイシエの積分的従属の専用原理を有限余長でない加群へ一般化できる。