[論文レビュー] The non-commutative scheme having a free algebra as a homogeneous coordinate ring

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、自由代数をその斉次座標環とする非可換スキームが、準似層の導来圏が行列代数の直和限界の加群圏と同値であることを確立する。このスキーム上の連続的層の圏には、分解不能、ネーター的、または単純対象が存在せず、すべての短完全系列が分裂する——これは、可換射影スキームとは著しく異なる、極めて非古典的な幾何的構造を示している。

ABSTRACT

Let k be a field and TV the tensor algebra on a k-vector space V of dimension n>1. This paper proves that the quotient category QGr(TV) := Gr(TV)/Fdim of graded TV-modules modulo those that are unions of finite dimensional modules is equivalent to the category of modules over the direct limit of matrix algebras, M_n(k)^{\otimes r}. QGr(TV) is viewed as the category of "quasi-coherent sheaves" on the non-commutative scheme Proj(TV). The subcategory qgr(TV) consisting of the finitely presented objects is viewed as the category of coherent sheaves on Proj(TV). We show qgr(TV) has no indecomposable objects, no noetherian objects, and no simple objects. Moreover, every short exact sequence in qgr(TV) splits. The equivalence of categories result can be interpreted as saying that Proj(TV) is an "affine non-commutative scheme".

研究の動機と目的

• R が自由代数である非可換スキーム Proj_nc(R) の構造を理解すること。
• このスキーム上の連続的層の圏の特徴を、単純対象やネーター的対象といった標準的幾何的特徴の欠如を含めて特定すること。
• このスキーム上での準似層圏と連続的層圏の同値性を、行列代数の直和限界の加群圏と確立すること。
• 非可換射影空間が可換版とは本質的に異なる振る舞いを示すことを、特に完全系列と対象の分解の観点から示すこと。

提案手法

• Fdim(R) を有限次元加群の直和限界の全部分圏とするとき、商圏 QGr(R) = Gr(R)/Fdim(R) を定義する。
• ねじれ関手と構造層 O = π*(R) を用いて、Proj_nc(R) 上の準似層の圏を分析する。
• O が QGr(R) 内で有限生成的、射影的、かつ生成元であることを証明し、モリタ型同値を可能にする。
• 直和限界代数 S = lim→ M_{n+1}(k)⊗r を構成し、QGr(R) が右 S 加群の圏と同値であることを示す。
• R 加群の完全系列にスネイク補題を適用し、拡張を分析して連続的層圏の性質を導出する。
• 非可換幾何におけるローゼンバーグの閉部分空間理論を用い、X^n の唯一の閉部分空間が空集合と X^n 自身であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換スキーム Proj_nc(k⟨x₀,…,xₙ⟩) 上の準似層の圏の構造は何か？
• RQ2 このスキーム上の連続的層の圏には、分解不能、ネーター的、または単純対象が存在するか？
• RQ3 この非可換スキーム上の連続的層の圏は、可換射影空間上のそれとどのように異なるか？
• RQ4 自由代数を座標環とする非可換スキームと、レヴィット代数やクンツ代数の関係は何か？
• RQ5 連続的層圏におけるすべての短完全系列は分裂するか？これは幾何的構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• QGr(R) は直和限界代数 S = lim→ M_{n+1}(k)⊗r の右加群圏と同値であり、O はこの同値のもとで S に写される。
• qgr(R) は有限生成的かつ有限提示可能な右 S 加群の圏と同値であり、S は自身と反同型である。
• dim V ≥ 2 のとき、qgr(R) には分解不能対象も、ネーター的対象も、単純対象も存在しない。
• qgr(R) 内のすべての短完全系列が分裂するため、この圏は強い意味で半単純である。
• qgr(R) のグロテンディーク群は、加法群として ℤ[1/(n+1)] に同型である。
• 自由代数が多数の両側イデアルを持つにもかかわらず、X^n の唯一の閉部分空間は空集合と X^n 自身である。